1+1= 2 ?

前注:这篇文章原本是写给中学生和大学生的,后来发现可能有更多的人会感兴趣,比如:学龄前的儿童和家长,所以贴到这里来。我写这篇文章的缘起比较复杂。最早来源于一些职业数学家对范畴学太抽象的抱怨,他们希望看到的数学是象1+1=2这样“简单”,容易“理解”和可以计算的数学。我想通过这个例子来 说明,小孩子想问题天生就是categorical的,当我们学了很多decategorified的数学以后,很多人反而不能接受范畴学。所谓“抽象” 往往也只是因为我们对它的不熟悉而已。就象你刚刚走进一个100层的摩天大楼,它的丰富结构会让你觉得相当迷失或“不理解”,但是你不会说这个大楼的内部结构很“抽象”,因为你知道时间长了,你就知道第几层有个画廊,画廊旁边是个书店, 而书店的二楼有一个美丽的姑娘卖咖啡,等等。其实很多抽象的数学理论只是一座座崭新的摩天大楼而已,熟悉他们需要的只是时间与耐心。

创造力的来源是天真
--伟大的数学家Alexander Grothendieck

我希望大家和我一起回到学龄前儿童的状态。只有这样你才能看清问题的本质。

1+1=2 是一个很难的问题。我们真正理解了吗?

第一个难点是:什么是”1″?
第二个难点是:什么是”+”?
第三个难点是:什么是”=”?
第四个难点是:什么是”2″?

什么是”1″?小孩儿不知道什么是”1″ ,你知道吗?你见过1吗?通常情况下,老师的教法是用实物,比如用带磁铁的小猪,小鸭,苹果,香蕉。可以把他们吸到带金属的黑板上,真实可见的东西是的我 们对存在的基本体验。其他都不太可靠。我们谁也没有见过1。那让我用符号 O 来表示苹果,J 来表示香蕉。

让我们把他们放到一起,于是黑板上出现了如下公式:

(1)O+O=OO,

好吧。我们见过苹果,所以O没什么问题,但什么是”+”?什么是“=”呢?其实小孩一般还可以接受(1),接受的办法就是忽略“+”。(1)不就是 “OO=OO”吗?理解“+”太难了。我先跳过。先来谈谈“=”,其实这个更难!“=”(等于)是一件很难理解的东西。在现实世界里我们基本没有见过两个 完全一样的东西。“OO=OO”两边的苹果其实是不一样的。也许他们的颜色有些区别,或磁铁的吸力的差别,等等。那么”=“就很难理解了。在生活里的中 文,我们不说等于,我们说”一样“。左边的“OO” 和右边的“OO”在什么意义下是“一样”的呢?通常我们只能说我们可以建立左右两边的一一对应(遗憾我还是用到了一一,呵呵)。比如:

OO (左)
|  |
OO  (右)

其实孩子们是敏锐的。一定有看上去很“笨”的孩子纳闷,为什么老师不选择下面这种呢:

OO  (左)
X
OO  (右)

如果我们定义左右两边的苹果“一样”就是有一一对应,那么左右两边的苹果至少有两种不一样的“一样”!这又是什么意思呢?这是不是在说左右两边的苹果还是不太一样呢!那你让一个深刻(天真而已)的孩子如何理解呢?

插个小评论: 很多深刻的孩子在我们肤浅的教育的第一步,就开始被磨灭他们的天才,打击他们的信心。孩子们学到的是如何让别人满意,而不是去理解。只有“聪明”的孩子才讨老师喜欢。

一般幼儿园的老师会这样加强理解。假设孩子们已经有了对“OO=OO”一种模糊的理解。我们在来类比地加强这种所谓”理解“。我们再摆一个在板上:

(2)J+J=JJ

当然其实就是”JJ=JJ“。按我们的假设孩子们已经有了对“JJ=JJ”一种模糊的理解。这时候老师试图能够“抽象”出来一个概念1和2。办法就是试图 说明O和J,OO和JJ也在某种意义下是“一样”的。可是对孩子来讲JJ与OO很不同啊,只能说JJ与OO可能可以对应起来。具体做法还是给出一个对应, 比如:
OO
|  |
J J
但这不是唯一的选择。还可以有如下对应:
O O
X
J  J
注意给出一个轻轻楚楚的对应是很有必要的,否则我们无法将JJ与OO等同起来更无法理解”2″。这一点可以有下面的情况来说明:请比较
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO 和
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ。
不给出一个对应,天知道他们怎么是回事儿。我是随便写的,不会有同学真的去比较他们吧,最好不知道,留下一个未知的神秘感。

总结一下。

1。我们其实顶多能够把“=”理解成一种对应。
2。而这种对应往往还不唯一。两个东西可以以两种不同的方式“一样”,还是一样吗? What does this mean?
3。这两条其实在说,我们原来以为的“=”是一种“绝对的一样”(我也不知道我指什么,你们知道吗?)可能是一种误解。

问题:我们能不能通过所谓的“抽象”过程,能够在另一种“抽象”的层次上建立“绝对的一样”的概念呢?那么1+1=2是不是就可以严格的定义和理解了呢?

插个小评论:我们通常说的所谓抽象,其实是故弄玄虚的不解释,不知道或者逃避困难。我们自己解释不清楚了,我们就说只可意会不可言传。 实在急了,我们就说:你咋抽象能力这么差呢?真TMD的笨!

好让我们来考察一下,能不能在一种“抽象”或神秘的层次上定义什么是1和建立一种“绝对的一样”的概念?

假设我们能够理解一个集合,也就是 a family of apples, bananas, … etc. 孩子们“好象”也知道,好吧。数学(其实只是集合论)里“抽象”出来的办法是要提出一个新的概念叫“cardinality”。这个概念依赖其他的概念:

1. equivalence relation (等价关系)
2. equivalent class (等价类)
3. equipollence

我并不打算走进这些细节。只说思路。就是我们希望把OO和JJ等价起来。我们先规定一种等价关系,就是说如果 OO 和 JJ 存在一种一一对应(不管有多少不同的对应),我们就说 OO和JJ 是 equipollent 的。这样的话,OO 就  equipollent to JJ,AA, , 等等。那我们就可以“抽象”地定义一个叫所谓“equivalent class” (which is very subtle).  “equivalent class”就是把所有那些和OO equipollent 的东东(好象东西没东东合适)都装到一起:

OO,JJ,AA,PP,木木,aa,   , 。。。。

然后我们就可以定义(1类似):  2 = the equivalent class of
OO,JJ,AA,PP,木木,aa,   , 。。。。

但是这个equivalent class到底是什么呢?它是在怎样一个层次上的东西(结构?)呢?它还是我们通常所说的原来那个层次,象“OO”一样的集合吗?但它好象是一个集合的集 合?(小心:罗素的悖论 –>  the “set” of all sets is not a set!)

“equivalent class” is in general not a set! It is a class. Oh, my god? What is a class?

再问下去,我们只好走进集合论的公理系统和数理逻辑。嘿嘿,到现在为止我好象还没有完全解释清楚什么是1和2。+和=就别提了。有几个理由我们不再往下走了。

1。最终我们是不是能完全理解1+1=2?Very unlikely!公理是人写出来的,不是God given的。即使我们建立了集合论的公理系统,而且完全定义了1+1=2。因为达到同样目的的公理系统不是唯一的,最终我们仍然需要选择和设计我们的公 理,要做一些人为的和不一定自然的选择。这种不唯一性是会令人不安的。

2。更有甚者:数学的基础也不一定要建立在集合论上。还有别的可能。比如也可以建立在范畴学(category theory)里的elementary topos理论上,最近一些年有新的一些趋势,就是在higher category的框架下建立一个新的数学基础。

虽然不再进入集合论的公理系统和数理逻辑细节,仍然有很多小孩都很容易把握的藏在 1+1=2 的深刻数学需要讨论 !

后注:其实这是一个论坛里的一个帖子,后面还有很多的回帖和后续文章,所以结尾有些奇怪。回帖和后续文章很多,就不一一贴出了。

About kongliang

I am a mathematician interested in quantum field theory.
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