浅议现代数学物理对数学的影响

麻省理工的文小刚教授在《赛先生》上为本文写的引言

物理和数学有着十分深刻的联系。物理的目的是想了解新的自然现象。而一个新的自然现象之所以新的标志,就是它连名字、连描写它的数学符号都没有。这就是为什么当物理学家有一个真正的新发现的时候,她什么都说不出来,什么都写不出来,也无法进行计算推导。这时候,就需要引入新的数学语言来描写新的自然现象。这就是数学和物理之间的深刻联系。正因为如此,每一次物理学的重大革命,其标志都是有新的数学被引入到物理中来。

第一次物理革命是力学革命。需要描写的新现象是粒子的曲线运动。当时人们认为所有物质都是由粒子组成的。牛顿不仅要发明他在物理学上的粒子运动理论,而且还要发明微积分这一套新的数学来描写他的粒子理论。第二次物理革命是电磁革命。麦克斯韦发现了一种新的物质形态——场形态物质。这就是电磁波,也是光波。后来人们发现,这种场形态物质需要用数学的纤维丛理论来描写。第三次物理革命是广义相对论。爱因斯坦发现了第二种场形态物质——引力波。他需要引入数学中的黎曼几何来描写这一种新物质。第四次物理革命是量子革命。这次革命揭示了,我们世界中的真实存在,既不是粒子也不是波,但又是粒子又是波。这种莫名其妙却又真实的存在,是用数学中的线性代数来描写的。

我们现在正在经历一场新的物理革命——第二次量子革命。这次革命中的主角是量子信息和它们的量子纠缠。这次我们所遇到的新现象,就是很多很多量子比特的纠缠。这种多体量子纠缠的内部结构,正是我们既说不出来,又没有名字的新现象。我们现在正在发展一套新的数学理论(某种形式的范畴学),来试图描写这种新现象。

这次正在进行中的物理学的新革命是非常深刻的。因为这次革命试图用纠缠的量子信息来统一所有的物质、所有的基本粒子、所有的相互作用,甚至,时空本身。而凝聚态物理中的拓扑序、拓扑物态,以及量子计算中的拓扑量子计算,都是多体量子纠缠的应用,也是我们发现多体量子纠缠的原始起点。

我们刚才用物理的眼光概括了数学和物理的关系。自牛顿以来,我们都是用分析的眼光看世界,用连续流形、连续场来描写物理现象。但量子革命以来,特别是第二次量子革命以来,我们越来越意识到,我们的世界不是连续的,而是离散的。我们应该用代数的眼光看世界。连续的分析,仅仅是离散的代数的一个幻象。就像连续的流体,是许许多多一个个分子集体运动的幻象。

今天的这篇文章是从数学的角度来看数学和物理的关系,也描写了近代数学发展的若干脉络。有趣的是,其中有一条脉络正是从连续到离散、从分析到代数的脉络。也提出了一个离散的代数是比连续的分析更本质的观点。这和物理学从经典到量子的发展一一相映。

正文 

作者:孔良(美国新罕布什尔大学数学与统计系)

本文为“在线优先”(online first)版本,登载于“数理人文”微信订阅号(math_hmat),最终版本稍后将刊登于《数理人文》杂志。媒体或机构如需转载,请联系波士顿国际出版社 yushan.deng@intlpress.com.

从上个世纪80年代以来,数学物理,特别是量子场论和弦论,对数学的很多领域都产生了影响。这些影响不是简简单单地隔靴搔痒,可以轻易地被大多数数学家所忽视。笔者遇到很多年青的数学家都曾经在某个时候(或正在)困惑:是不是需要学习一下量子力学和量子场论?当然不同的数学家对这些影响可能有完全不同的态度和反应。我们想了解的是:量子场论带来的这个数学新潮流是一个昙花一现的时尚,还是一股改变数学发展进程的洪流? 要对这个问题做全面细致的分析,免不了需要进入很多数学物理进展的具体细节,这个任务大大超过了笔者的能力。冒着主观、片面化和简单化的风险,本文以不进入任何具体细节的方式,试图在哲学层面来解析这个潮流的根源和特点,以期得到以上问题的一个解答。 当然我们的真正目的并不是去解答这个“肤浅”的问题,而是了解藏在现象背后的深层原因,从而了解我们在历史脉络里的位置和时代赋予我们的机遇和使命。

数学物理的传统

数学的发展的一个原动力就是去认识我们的物理世界。比如在希腊语里“几何”这个词就是指测量大地的意思。反过来,对物理世界的描述和深入理解又需要数学这样精确的语言和方法。其实从更深的层次上看,很多数学语言都是在理解自然的过程中被创造出来的,所以语言本身也是自然法则的一部分。

直到20世纪中叶,数学和物理这种相互依存的关系一直伴随着数学发展的每一个重要时期。一个特别值得一提的例子是牛顿的科学革命伴随着微积分的诞生。微积分不仅为牛顿力学,而是为整个现代物理学提供了一个语言体系和强大的工具。如果没有了微积分,很难想象今天的物理学会是什么样子。而微积分在物理中的应用也成就了微积分本身的大发展。一种数学理论由于在物理中的应用而被普遍接受或被加速发展的情况屡见不鲜。除了微积分还有一个例子就是爱因斯坦的广义相对论之于黎曼几何。其实黎曼创立黎曼几何的一个初衷就是希望能够把很多复杂的物理现象看成高维的非平凡的几何现象。爱因斯坦的广义相对论可以看成黎曼这一理想的完美实现[1]。黎曼几何在广义相对论发明之后成为了数学里面的一个主流分支,在数学里大放异彩,它的一个广为人知的应用就是解决了拓扑学里面著名的庞加莱猜想。其实黎曼的原始思考不仅包括了大尺度物理空间的基本要素和特征,他还提到小尺度上的空间有可能是离散的,而且小尺度上的几何基础必须要由将来的物理来决定[2],很难想象这些思考发生在量子物理登上历史舞台的50年前。

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黎曼(照片来源:wiki)

  另外数学和物理相互依存和难以分割的关系还表现在历史上有很多大数学家,往往也同时是物理学家或自然哲学家,比如牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉普拉斯、高斯、黎曼、庞加莱、希尔伯特、外尔、冯·诺伊曼等等。我们想强调的是数学和物理的紧密结合一直是科学发展过程中的主流形态,然而这个主流形态和我们今天所看到的大学教育里面数学和物理相对独立的现状非常不符,其原因是20世纪中叶发生了一个脱离传统形态的现象。

20世纪中叶的数学和物理的分道扬镳

20世纪中叶出现了一个新的现象,就是数学和物理走上了两条相对独立的发展道路[3]。现在回头看来大致有两个表面原因:

  1. 量子力学的出现和牛顿力学的出现的一个显著的不同是:它没有带来一个全新的“量子几何”或“量子微积分”。所以量子力学完全缺乏几何直观,所有人在学习和掌握它的时候都会觉得非常困难。即使到现在物理学界也没有对量子力学的基础有一个统一的看法。 物理学家为了能够继续往前走发展了的很多不严格的方法,比如量子场论中的重整化技术,使得数学家望而生畏。
  2. 数学也有愈来愈形式化的趋势,很多现代数学的抽象语言也让大多数物理学家望而生厌,不知所云。另外数学的体系已经发展到了一个如此丰富和成熟的阶段,一部分数学家认为数学不需要外部的动力也可以自己持续发展。

在这一期间,双方都没有给对方带来显著的影响,不但如此数学和物理似乎都把对方视为前进的包袱,想要努力甩掉包袱,轻装上路,寻求自己独立发展的自由空间。

一方面,物理学家由于实验手段的突飞猛进,很多大自然的全新结构被揭示出来,这些崭新的发现所带来的紧迫感,使得物理学家希望摆脱严格性的束缚,在没有完善的数学和哲学基石的情况下阔步前行。物理学家也因此取得了不可思议的辉煌成就,这些成就深刻地改变了物理的全貌,甚至改变了我们的生活的方方面面。

另一方面,数学家也努力地使得所谓的“纯数学”成为数学的核心,而其他和应用相关的数学则被视为应用数学,甚至是含有贬义的“不纯”的数学。数学成了一个完全独立于自然科学的学科。虽然这个纯数学运动从19世纪就开始了,但是到了20世纪中叶对数学纯粹性的追求才真正达到了顶峰。其实纯数学运动是一个非常自然的诉求,她有非常底层和内蕴的动力,对此庞加莱表述的十分恰当:

  On the one side, mathematical science must reflect upon itself, and this is useful because reflecting upon itself is reflecting upon the human mind which has created it, the more so because, of all its creations, mathematics is the one for which it has borrowed least from outside. … The more these speculations depart from the most ordinary conceptions, and, consequently, from nature and applications to natural problems, the better will they show us what the human mind can do when it is more and more withdrawn from the tranny of the exterior world; the better, consequently, will they make us know this mind itself. [4]

20世纪发展起来的很多数学,特别是那些完全脱离了物理应用的学科:抽象代数、代数几何、代数拓扑、范畴学等等,都可以看做是讲述人类抽象思维是如何工作的研究报告。脱离了物理学的影响,数学家同样取得了不可思议的辉煌成就。

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庞加莱(照片来源:wiki)

  庞加莱的思考也可以应用在物理上面,毕竟物理是一门以实验为主导的自然科学,她内在的驱动力并没有对严格性有严格的要求,对一些自然现象的理解保持灵活的和直觉上的理解,是物理学家探索未知时不可缺少的状态,这一特点也使得整个学科保持永恒的活力。 总而言之,从学科内蕴的特征上看,核心数学和核心物理的分离是学科发展的必然趋势。

不过两大核心的自然分离并不能推出数学和物理会完全分离的结论。但是历史的单摆总是不愿意在平衡点过多地停留,两个核心的分离使得广阔的中间地带变得过度的荒芜,随着两大核心的体量的快速增加,吸力也越来越大,荒芜的地带变得更加荒芜。时间长了不同核心地带的居民也变得陌生起来,甚至有了敌意。

  1. 一方面,一些物理学家认为数学家不会提供任何物理学家自己做不出来的结果,认为对数学严格性的追求会阻碍物理学的发展,甚至认为过多的数学训练会阻碍物理直觉的培养。其中的代表人物是美国物理学家费曼。物理学家徐一鸿先生曾写过:事实上,大统一理论的创造者,以及大部分1970年代的粒子物理学家,都十分费曼,很蔑视数学,有一次费曼和我一起看秀,他告诉我数学物理那些华而不实的东西,应用到物理时根本连马尿都不如[3]。
  2. 另一方面,一些纯数学家也对应用于科学的数学产生了鄙夷之心。其中极具代表性的就是英国数学家哈代[5],他认为应用数学试图把物理真实用数学语言表达,这些数学往往肤浅且无趣;而纯数学则在寻求独立于物理世界之外的真知,具有永恒的价值。 具有讽刺意味的是,为了自圆其说,哈代认为广义相对论和量子力学是优美的纯数学,因而无用。

数学和物理的分离是如此彻底,以至于即使在同一个人的身上她们也可能是分开的。既是物理学家又是数学家的戴森曾说,他错过了发现模形式和李代数的深刻关系,是因为物理学家的戴森并不和数论学家的戴森交流。

在这一分离期间,数学物理这个名词被限制在一个比较小的范围内,比如用分析的方法来研究物理中的方程、泛函分析和算子代数的方法来研究统计物理和场论模型、以及群表示论在物理中的应用,等等。

虽然这个分离时期,在70年代规范场论的兴起和80年代弦论发展之后,就已经彻底结束了,但是它给我们这个时代留下的“后遗症”还广泛地存在。

  1. 在教学上表现为,数学专业的学生几乎不要求现代物理学(特别是量子力学、量子场论和统计物理)的任何知识[6],而物理专业的学生也对现代数学特别是比较形式化的课题,如代数拓扑、代数几何、 抽象代数、范畴学等缺乏基本的了解。而过去30年间数学与物理的大融合和大发展,造成了学生很难通过正规渠道来跟上这个发展,对于是不是应该提出一个针对培养数学物理方向的学生的教学方案这样的问题也没有被提到讨论的日程上来。
  2. 更严重的危机是数学物理的身份危机。对于很多物理学家来说,数学物理学家像是往返于数学和物理之间的商人,不过是经常来贩卖一些时髦的数学名词,虽然有时候还可以对某些物理理论做一些美化的工作,但是对物理本质并无核心贡献。不少数学家也不把数学物理看成一个严肃的数学研究领域,因为只有那些具有明确的数学定义,陈述清晰的数学定理和完整严格的证明的工作才能被称为数学,而在此发生之前的所有努力被数学家称为物理。如果还没有对数学有本质的贡献,人们确实要怀疑数学物理有无存在的必要。在求职的道路上,今天的数学物理学家不得不面对这种双重否定的身份所带来的尴尬。

毫无疑问,数学物理与数学和物理有不一样的特性,这些特性是不是本质的?是不是值得把数学物理当作一个专门的既不同于数学,也不同于物理的新学科来对待?这是一个不好回答的问题。但是我们坚信,同庞加莱所说的对数学本性的思考类似,对数学物理的本质特性的思考和讨论,对数学和物理两方面都是有益的。

数学里的新潮流

量子场论早期的发展主要是以微扰论为主要研究方法,而应运而生的重整化方法对数学和物理的对话起到了一定的阻碍作用。但是到了70年代,量子场论的非微扰方法开始和近代数学的课题有了广泛的接触,特别是规范场论和纤维丛理论的完美对应,大大促进了数学家和物理学家的重新对话,它的一个直接结果就是80年代 Donaldson 理论的发现和对4维拓扑的深刻影响。而这种对话更由于80年代弦论的兴起而达到了全新的高度。弦论可能是目前对数学要求最高的物理理论,它所需要的数学大多是数学里面没有的崭新的数学,而这种新数学又与已有的数学领域有着广泛的和深刻的联系,例如:拓扑学、代数几何、微分几何、表示论、分析、数论、概率论、范畴学等等。借助于这种联系和由量子场论带来的独特视角,弦论学家得到了一系列惊人的数学结果,引起了数学家的广泛注意。一时间以威腾(E. Witten)为代表的很多弦论学家,成了数学新潮流的领路人。从80年代到现在这个新潮流非但没有出现任何衰退的迹象,反而有越演越烈之势,以至于现在我们都不清楚什么数学领域和物理没有关系。

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威腾(照片来源:丘成桐数学科学中心)

我们经常能够听到做学问不能跟风的劝告,因为很多时髦的东西确实都是昙花一现的时尚。那么这个新潮流能否摆脱昙花一现的宿命呢? 这个问题和我们每个人要选择做什么数学并没有直接关系,从个人角度,选择做什么是没有统一的答案的,因为个人的喜好和选择总是很私密的,不可一概而论。但是学科的发展和停滞也确有其历史发展规律,不是每一个学科都会同步地发展,有些学科基本停止发展,有些却高速发展都是正常的现象。每一个时代都会有属于自己这个时代的潮流,我们该做的只能是从历史的角度来分析这个潮流的特点,从而了解我们这个时代留给我们的机遇和使命。

数学结构的大爆炸

带着这个疑问,我们来看看过去30年里面数学发生了那些变化。先从现象学的角度来看,弦论和量子场论的确对数学的方方面面产生了影响,其中一个最显著的特征就是新数学结构的大爆炸。过去30年崭新的数学结构以前所未有的速度被创造发明出来,他们要么是直接或间接地因为量子场论而被定义出来,要么是由数学家独立发现,但因其后发现了和物理的关系而被加速发展。这里我们举一些例子,比如在几何里有:Calabi-Yau manifolds、Mirror Symmetry、Gromov-Witten theory、elliptic cohomology、Fukaya categories、Donaldson-Thomas Invariants、non-commutative geometry、derived algebraic geometry 等等;拓扑有:Jones polynomial,Donaldson theory、Chern-Simons theory、Seiberg-Witten theory、Khovanov homology、topological field theories、operad、factorization homology 等等;代数及表示论有:chiral algebras、quantum groups、vertex operator algebras、modular tensor categories、subfactors、fusion categories、algebras in a tensor category、A-infinity (L-infinity、G-infinity、… ) algebras、geometric Langlands correspondence 等等;概率论有:Stochastic Loewner evolution等等。甚至在数论这样古典的领域里面,都发现了 Langlands 纲领和场论里面的电磁对偶的关系,模形式和拉马努扬公式等等都在量子场论中有很多的应用。

从表面上看,量子场论的确席卷了数学的大部分领域,以至于有人认为量子场论在扮演着统一数学的角色。不过对更多的数学家来说,这可能是一句没有意义的空话,崇尚多元和自由的数学家尤其讨厌这类空洞的“政治”口号。我们需要做的是离开现象的表面去探究导致这一现象的深层原因。

大自然的馈赠:无穷维的数学世界

老子说“道法自然”,大自然是我们最佳的导师。物理学家在大自然的指导下,甚至是逼迫下,不得不研究多体(或无穷自由度)系统,因为物理世界的大多数问题都是多体的,比如流体、星体、材料,甚至股票市场和人类社会。多体和少体有着本质的区别,简单地说“More is different”[7],而由此诞生的物理理论:统计物理、量子多体理论和量子场论,可以看作是大自然(或物理学家)对数学家的馈赠。这个馈赠可以精炼出来一条很短的消息:

  无穷维上存在有限维上根本看不到的数学结构(如:量子场论、弦论)

为了能够了解这一个简短的信息带来的震撼,让我们来想想看,单凭想象力就能企及的无穷维的数学结构是什么?是无穷维的代数(结合代数、李代数、Hopf 代数)、无穷维的流形、无穷维的李群?还是无穷维的函数空间、算子空间等等? 你会发现这些显然的无穷维的结构都是有限维概念的直接推广, 我们在不知不觉之中陷入了一个看不见的牢笼。一个能够打破这个牢笼的问题是:有没有一个只在无穷维上才存在的全新的数学结构?这是一个不平凡的问题,可以肯定的是单凭想象力很难企及这样的结构。而令人赞叹的是,现代物理发展出来的量子场论就给出了许多这种无穷维的新结构。比如任何一个不平凡的2维共形不变的量子场论(或共形场论)都是无穷维的,而有限维的2维共形场论在某种意义下都平凡的。 可以想象这样的无穷维结构的存在性本身就是一个非平凡的问题,所以量子场论的数学结构的完整构造往往是非常困难的。

先抛开构造不谈,这样的新结构的存在性本身已经可以解释为什么量子场论在扮演统一数学的角色。当我们透过不同的有限维或无限维的窗口去观察这个无穷维的庞然大物,我们往往会看到完全不同的数学景象。难道这就是老子所说的“大音希声,大象无形”?举一个我自己比较熟悉的例子:第一个被构造出来的2维共形场论是一个顶点算子代数(一个有限维不存在的新结构,其中自动包括结合代数和李代数等结构);她的配分函数是著名的 J 函数,J 函数是所有模函数的生成函数,模函数在数论里面占有重要地位;她的自同构群是最大的有限散单群:魔群(Monster Group);另外她还包含了48个统计物理模型中的 Ising 模型的某种极限。这个允许很多看似毫不相关的数学结构在其上生长的庞然大物真的可以称为怪物了。

今天我们看到,这些无穷维的怪物已经在很多不同的数学领域之间建立了桥梁,为很多古老的问题带来了全新的理解和解决方案。比如今天几何学家也已经熟知了有些在有限维的流形上面的问题,可以通过对无限维的 Loop Space 的研究而得到答案;而拓扑学家也经常强调要去看无穷维的 (co)chain space 上的结构,而不仅仅是看(上)同调。 其实真正重要的还不是解决了以前的问题,而是发现了一个全新的数学新大陆,在等着我们去探险。

也正因为是研究无穷维,我们也不难理解为什么我们生活在一个数学结构大爆炸的时代。随着越来越多的不同角度的观察,新的数学结构被层出不穷地被挖掘出来,而那些刚刚发现的数学结构已经足够的宏大和丰富,会让人不禁感慨:似乎数学才刚刚开始。十几年前数学家苏利文(Dennis Sullivan)和笔者说,其实60年代已经可以研究无穷维的拓扑学,那个时候也发现了一些无穷维的新数学结构,但是当时确实缺乏思想上的动力,真的要等量子场论带来一场思想上的革命,才能真的复兴,并大行其道。

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陈寅恪

所以推动这场数学新潮流,以及数学结构大爆炸的幕后推手,既不是一两项新的技术,也不是一两个深刻的思想,而是广袤无边的,完全未开垦的数学新大陆。至少从数学的角度看,基于以上分析,我们已经有理由相信这个由量子场论而来的研究无穷维数学结构的潮流不是一个昙花一现的时尚,而是一场革命性的洪流。它应该就是陈寅恪先生在《陈垣敦煌劫余录序》中所提及的“ 此时代学术之新潮流”:

  一时代之学术,必有其新材料与新问题。取用此材料,以研求问题,则为此时代学术之新潮流。治学之士,得预于此潮流者,谓之预流(借用佛教初果之名)。其未得预者,谓之未入流。 此古今学术史之通义,非彼闭门造车之徒,所能同喻者也。

也许人类的想象力终究还是抵不过大自然的馈赠,数学在纯数学化运动之后不久,就迎来了物理学的全面入侵,数学终于又重新拥抱大自然了。

新数学的一些特征

量子场论带来的无穷维的新数学和传统的数学有什么不同的特征呢?真的有很多不同,需要很完整的分析,我们这里只想借助于无穷维的提示来给出一些简单化,但是可能仍然有启发的解读。我们先来谈谈数学内容以外的一些新特征,以及其对研究者的一些影响和挑战。

表面上的混乱:无穷维的数学很像老子所说的大象无形,从表面上看似乎十分混乱,比如在量子场论的不同方向上的研究者似乎在用不同的数学语言,有的偏重代数,有的偏重几何,有的偏重拓扑,有的偏重分析,有的偏重用不严格的物理语言,所以即使大家都在做数学物理,交流仍然是很困难的。因为这些表面上的混乱,也为初学者入行带来了极大的困难。数学物理是不好入门的,因为第一,没有教科书;第二,范围太广,几乎涵盖了所有数学领域,正是这样的庞然大物,会让初学者常常有无从下手的感觉; 第三,需要一些和别的数学学科不一样的训练,特别是需要一些物理的背景,而自学物理对数学家来讲是非常困难的。

内在的和谐与统一:虽然表面上看是很混乱,但是在深处这些表面的乱象都可能是同一个无穷维的庞然大物的不同的侧面,因而她们有内蕴的和谐。他们在深层次上的和谐与统一,使得我们不应该把表面的现象看成混乱,而是应该把它看成是一种丰富的体现。是的,无穷维的数学的一个基本特征就是表面的丰富和内在的统一。只有以这样的心态去看待数学物理,才会消除很多对表面上的混乱的抵触心理。她的丰富多彩与和谐统一正是你所追慕的,所以你也要接受她表面上多变的性格,并因此而爱她。

数学物理的哲学趣味:一方面数学物理和对大自然的理解息息相关,所以数学物理的内涵必然是包括自然哲学的。不但如此,因为和量子引力的深刻关系,现在的数学物理在非常基础的层次上挑战我们对宇宙几乎所有的认知,这些新的挑战使得哲学家、逻辑学家、数学家、物理学家、计算机科学家开始聚合在一起,一起来面对一场非常底层的变革。另一方面不同方向的数学物理学家要交流,必须要抛开表面的、语言的和技术上的不同,而去挖掘深层次的、哲学上的共性。只有沉得足够的深,交流才是可能的。然而更重要的是,一个本质特征能够被挖掘出来,往往是因为我们先发现她会在不同数学语境里有类似的表现,而发现那些隐藏在表象背后的哲学本质本来就是数学物理研究的最根本的目标之一。 数学家 Gelfand 说:“不要吝惜时间来思考基础理论问题,这点很重要。……,在我们的时代,数学家应该成为自然哲学家。”

新的语言:在这个充满未知的领域里面,连描述未知的语言往往也是未知的。能够描述自然法则的前提是要建立一个语言系统,而语言系统的建立本身就依赖于我们对自然法则的深刻理解,所以语言本身就是自然法则的一部分。而且语言系统的建立可能是我们在探索过程中最为艰难的一步。用精确的数学语言把问题描述出来,或把核心结构定义出来往往是最难的。 如果能做到,问题也就被解决了一大半了。

基础知识和技术:当精确的数学语言把问题描述出来以后,往往会发现以前所有的数学工具都用不上,需要的是去发明全新的数学工具。虽然有的时候碰巧前人发明的数学工具可以用,但是常存这样的侥幸心理长期来讲是有害的,因为我们的目的就是去发现一个全新的数学世界。 所以坚固的数学基础、广博的数学知识和强大的技术都不是探索者必需的素质。真正需要的是探索者的勇气,独立之精神和自由之思想。虽然从本质上讲,所有领域在这一点上都是一样的,但是那些相对成熟的领域对基础和技术的要求还是要高很多。

年青人的舞台:我们接着前面的特点略微展开谈一下,量子场论和很多领域的数学相关,这也给刚入门的学生带来一些错觉:是不是需要懂很多数学才有可能来做数学物理?其实真实的情况并非如此,除了几个需要比较多基础知识的领域,比如镜对称(Mirror Symmetry)等,更多的方向上并不需要太多的基础知识,即使是研究镜对称也有很多不需要太多基础的入手点。更重要的是量子场论要求的数学大多是全新的数学,她们还没有被建立起来。更有甚者,学了很多数学有时候甚至是有害的,因为如果学了很多数学知识放在脑子里,我们的本能就是希望有机会让这些数学知识能够发挥作用,这种功利的想法反而限制了我们的想象力。因为你面对的是一个全新的数学世界,虽然建立旧世界通向新世界的桥梁也很重要,但是这种桥梁很多时候只是涉及了新世界的枝枝叶叶,而忽略了新世界有她自己内蕴的全新的生命结构。所以更重要的素质是学会放下,放下数学知识带来的包袱,用一颗自由的心去倾听。 所以一个年青人虽然没有很丰富的数学知识,只要能够保持一颗天真的童心和足够的努力,就有可能做出很大的突破性的工作。 限于篇幅,只在这里点到为止,笔者会在其他文章中详细解读。

在数学内容上,无穷维的数学展现出很多新特征和新现象,比如高阶同伦论和高阶范畴的应用,丰富的形变理论和模空间问题,很多神奇的对偶现象,等等。每一个现象都值得我们做深入的分析和解读。而在这里我们仅仅简单谈谈下面三个新特征。

代数方法的重要性:传统物理学大厦建立在微积分的基础上,牛顿把经典力学问题完全化成了微分方程的问题,电动力学和广义相对论也都建立在微分方程的基础上,所以分析的方法在经典的数学物理里面占有举足轻重的地位,大多数物理学家因此相信,方程是表达宇宙的永恒规律的唯一语言,写下以自己名字来命名的方程式大概是几乎所有物理学家的梦想。量子力学诞生以后,虽然方程仍然是主流语言,比如:薛定谔方程和狄拉克方程,但是代数的方法也越来越重要,特别是表示论的重要性变得显而易见,群论和群表示论也已经从最初的一个纯数学分支变成了所有物理学家的通用语言。而且从量子力学的起源上看,海森堡从可观测代数的角度给出的量子力学描述可能更加基本。量子场论兴起以后,分析的方法在半经典的近似下仍然有很大的作为,但是对完全量子化的场论显得有些力不从心,其根本原因是量子物理和牛顿的经典时空观念是格格不入的,而从描述量子世界的数学语言上看,微积分在本质上就是不够的,我们需要一个新的量子化的微积分[8]。 这里的“量子化”有两个不同又彼此相融的意思[9],

  1. 一是在量子物理中,可观测量构成一个非交换的代数(海森堡图像)。如果和量子力学的建立一样,我们把可观测量看做是构建新微积分的出发点的话,那么代数方法将是这个新微积分的核心,法国数学家阿兰·孔涅(Alain Connes)发展的非交换几何是这一个思路的代表[8];
  2. 另一个是路径积分的,从这个角度看需要无穷维,因为路径空间是无穷维的。从无穷维的角度看,实数就不是一把测量无穷维数学世界的好尺子。所以很多无穷维空间就没有传统意义上的取实数值的测度。这时候我们需要用无穷维的尺子来测量无穷维的世界。 在我们寻找适当的测量无穷维的尺子的时候,尺子内蕴的结构变得更为重要。也许我们最终还是要建立完备的分析的方法和理论,但是这个理论必须建立在我们对无穷维相关数学的基本代数结构的理解之上,就好像实数是由有理数完备化而来,但是这个完备化依赖于有理数上面的代数结构。所以对无穷维上面的数学结构的理解,应该放在完备化之前[10]。e4b038dca9604f9180034e17c9f5bb68_th.jpeg

阿兰·孔涅(照片来源:MFO)

70年代以前,物理中的代数方法主要是指群论,现在越来越多的代数结构开始在量子场论的研究中大展身手,比如:无穷维李代数、A-infinity (C-,L-infinity,etc)代数、Hopf 代数、顶点算子代数、张量范畴、factorization algebra,等等。

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格罗腾迪克(照片来源:wiki)

范畴学的兴起:范畴学起源于代数拓扑,60年代格罗腾迪克(A. Grothendieck)将其变成了代数几何的基础语言,随后其影响逐渐辐射到很多其他领域,因而成就了一股范畴论替代集合论的潮流。到了90年代这个潮流非但没有衰减,反而有了新的强大动力:量子场论或无穷维的数学结构。为什么无穷维的数学要用到范畴学? 从代数上看,如果我们的尺子是实数(或复数),很多场论的问题就可以化成无穷维的线性代数问题,但是用有限维的尺子去测量无穷维是没有效率的,而特别有效的尺子本身往往就是无穷维的,用了这样的尺子, 很多场论的问题都可以转化成在不平凡的张量范畴里面的代数问题。更多的时候,无穷维丰富的数学结构会让研究者非常迷惑,而范畴学对数学做了一个巨大的统一,很多不同领域看似不同的数学概念,在范畴学的视角里不过是不同范畴里的同一概念。所以在研究无穷维的新数学的时候,范畴学变成了非常有用的语言和导向性工具。不但如此,在物理里面,没有结构的“存在”是不存在的,即使是“点粒子”也不是数学意义上的点而是有很多的结构,很多时候我们希望能够在每一个“点”都带有丰富结构的“数域”上积分,而范畴学其实就提供了一个结构化的微积分。另外值得一提的是量子物理在很多基本方面都暗合范畴学的基本精神。比如,量子理论把可测量提到了一个最本质的层次,可测的不是基本粒子,而是他们之间的相互作用,没有相互作用,测量也是不可能的;而范畴学的基本精神就是认为对象之间的相互关系比对象更重要,甚至对象本身就是所有相互关系的反映[11]。

物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性:我们熟知的一个著名问题是:为什么数学对物理有不可思议的有效性(unreasonable effectiveness)[12]?而物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性, 这是一个全新的现象。 要仔细解读这个现象很难,超出了本文的范畴,我们这里只想点出,本文的核心,无穷维上的新数学,给出了一个明显的暗示。一个无穷维的数学结构,如果单从生成元和她们之间的关系的角度看,非常复杂,很难有什么数学直觉。但是如果这个无穷维的数学结构描述的是一个有无穷自由度的物理系统,比如一块固体材料,我们的物理直觉,甚至就是一块固体材料在普通视觉下的效果,也已经是做了很复杂的重整化计算的结果,即把所有微观自由度积分积出来的结果。这一个过程从数学上看是非常不平凡的,也就是说有时候物理直觉本身就是一个不平凡的对无穷自由度的计算结果。也许这就是物理图像对无穷维数学的研究有不可思议的有效性的一个重要原因。

另外借助这个语境,我们顺便提一下,无穷维的数学世界展现了很多神奇的对偶现象,这些对偶并不是局限在数学结构之间的同构,可以是更弱意义下的对应,比如一些多体系统和场论里面的 boundary-bulk duality。这些看上去低维度的多体系统能够和高维度的多体系统之间有对偶,其根本原因是二者本质上都是无穷维的。甚至在无穷维的数学世界里面,一个“点”也都是无穷维的。这可能是藏在很多物理全息现象背后的原因。我们希望以后能回到这个话题上来。

结束语

在这篇文章里,我们简略地分析了过去30年物理对数学产生了深刻影响的原因。我们希望读者已经从我们的分析中了解到,为什么这是一场革命性的洪流,而非昙花一现的时尚。我们相信探索无穷维的数学新大陆正是这个时代赋予我们的机遇和使命。

在文章的进程中我们有意地忽略了很多重要的问题,比如:我们既没有对数学物理发展的历史进程做任何说明,在每一个年代里面到底发生了什么? 在不同的年代有什么特别重要的特点? 也没有对数学物理新进展的具体内容做任何介绍,也没有给出任何具体的实例来展现由数学物理带来的和传统数学不同的思考方式。我们认为对这些问题做细致的分析和广泛深入的讨论是非常有意义的,不过这不可避免地让我们走入学科的细节。从数学方面介绍数学物理的中文文章不多,我们希望抛砖引玉,期待以后能够看到很多这方面的讨论。在这里我们推荐阿蒂亚(M. Atiyah)先生的《数学的统一性》[13]和丘成桐先生的《丘成桐谈空间的内在形状》(简体中文版为《大宇之形》)[14]。其实这方面的英文文章也不多,特别是和本文类似性质的文章几乎没有,一个比较深入的讨论见 Moore 的综述性文章[15]。

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在文章结束前,我们想指出,如果物理对数学的影响只是单向的,那么这股潮流的生命力将减少不少。所以我们要问一个显然的问题:这些由物理学带来的数学革命最终能不能回馈物理呢?而这种回馈会不会仅仅是一些装饰性的美化?还是有可能会深刻地改变物理学? 这些问题显然需要另外一篇文章来仔细分析,我们只想指出数学对弦论的回馈早就不是新闻,而且近年来,我们看到一些数学家对场论的研究开始已经对其他物理学有不平凡的回馈。笔者比较熟悉的就有拓扑场论的数学理论和范畴学对凝聚态物理中的拓扑序的研究的影响。不过这是一个独立偶然的现象呢,还是一股革命性的新潮流的开始呢? 我们期待专家的解读。

致谢:笔者非常感谢中国科学院物理所的曹则贤老师,清华高等研究院的汪忠老师,清华大学丘成桐数学中心的李思老师,中国科学院数学所的苏阳老师和西交利物浦大学的刘启后老师对本文的评论和建议。笔者还要感谢《数理人文》杂志配的照片。最后笔者要特别感谢《赛先生》的编辑潘颖仔细阅读了本文,更正了很多的文法错误。

参考文献及补充说明

[1] 爱因斯坦把时间和空间统一在一起是黎曼没有预料到的。

[2] Bernhard Riemann, 1868 On the hypotheses which lie at the foundation of geometry, translated by W.K. Clifford, Nature 8 (1873), 183. http://www.emis.de/classics/Riemann/.

[3] 徐一鸿,数学在基础物理中的有效性——维格纳之后三十年(周树静 译),数理人文 2 (2014),International Press of Boston.

[4] 庞加莱表述的英译文出自 Jeremy Gray, Henri Poincaré. A Scientific Biography, Princeton University Press, 2013.

[5] G.H. Hardy, A Mathematician’s Apology, Cambridge: Cambridge University Press, (2004) [1940].

[6] 可能只有一个国家是例外就是苏联和后来的俄罗斯,也许部分因为和西方世界的隔绝,苏联的数学物理传统保存得很好,正因为如此,在苏联解体之后,大量优秀的原苏联数学家和物理学家流向欧美,成为当今数学物理学界的主要力量。

[7] P.W. Anderson, More is different, Science, New Series, Vol. 177, No. 4047. (Aug. 4, 1972), pp. 393–396.

[8] Alain Connes, Noncommutative geometry, http://www.alainconnes.org/docs/book94bigpdf.pdf.

[9] 这两种意思是彼此融洽的,比如非交换代数可以看成无穷维路径空间上的坐标函数生成的代数, 见 M. Kapranov, Noncommutative geometry and path integrals, Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin, Vol. II, 49–87, Progr. Math., 270, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009.

[10] 这一段笔者受惠于黄一知先生对2维共形场论研究的一些类似看法。

[11] 关于范畴学和物理的讨论可见 Section 2 in https://arxiv.org/abs/1107.3649, 更多讨论见 nlab:https://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory+and+physics.

[12] Eugene P. Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, in: Communications in Pure and Applied Mathematics 13 (1960), 1–14. 中文版:尤金·维格纳,数学在自然科学中不合理的有效性(岛洋 译),数理人文 2 (2014),International Press of Boston.(点击阅读微信版)

[13] 阿蒂亚, 《数学的统一性》,大连理工大学出版社,2009.

[14] 丘成桐,《丘成桐谈空间的内在形状》,远流出版事业股份有限公司; 《大宇之形》,湖南科学技术出版社。及相关的报告:《弦论和宇宙隐维的几何》,http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35401.pdf.

[15] Gregory W. Moore, Physical Mathematics and the Future,http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore/PhysicalMathematicsAndFuture.pdf.

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About kongliang

I am a mathematician interested in quantum field theory.
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5 Responses to 浅议现代数学物理对数学的影响

  1. Greatsun says:

    谢谢孔老师!非常好的文章,惠我良多。另外,老师提到“48个统计物理模型”,请问能推荐相关资料吗?我没找到哪儿有这个说法

  2. kongliang says:

    This is in the field of vertex operator algebra (VOA). A monster moonshine VOA contains a sub-VOA, which is 48 tensor product of the so-called Ising VOA. An Ising VOA is the CFT describing the critical point of 2d Ising model.

    • kongliang says:

      One standard reference is Frenkel-Lepowsky-Meurman’s book: Vertex operator algebras and the Monster. Pure and Appl. Math. 134, NewYork: Academic Press, 1988. There might be some new references that I am not aware of.

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