《数学的纯粹》葛力明

注:今天刚刚了系里的葛力明教授聊了一会儿,发现葛老师是一个非常纯粹的人,我非常喜欢,因为我自己对数学态度也很纯粹。特别是发现葛老师发表的文章特别 少,但是每一篇都是特别高质量的,这点我特别欣赏,其实是我自己也是这样要求我自己的,但是显然我并没有做到我自己的标准。我的文章虽然很少,但是按照我 自己的标准,我觉得我现在只能算写了3篇文章。其实哥德尔一生只有6篇文章,如果按照哥德尔这个标准的话,我现在应该是一篇文章也没有。文章就像是画家的 作品,从里面你可以看到作品背后的灵魂的许多东西,而把自己不满意或未完成的作品拿出来,对一个好的画家来讲简直是一件不可思议的事情。今天聊完,我就在网上搜索了葛力明老师的一篇有趣的网文,贴到这里来与大家分享。这篇文章发表在《数学通报》2008 年第 3 期。

《数学的纯粹》葛力明
学了很多年的数学, 可每当有人问起“到底什么是数学, 为什么学数学”等类似的问题时,我多少会有些迷茫,心中至今也没有一个明确的答案。正是数学中许多无法弄清楚的问 题时刻吸引着我, 我才会乐此不疲地一直沿着这条路探索。 通过它, 我认识了很多普通的人, 经历了不少感人的事,从中领悟了很多人生哲理,我和它似乎有结不完的缘。

1965年, 我出生在江南溧阳一个农民家庭, 母亲没有上过学, 父亲只读过四年小学。 记忆中家里很穷, 小时候有时吃不饱饭, 还三天两头地生病。 1973年在医院里住过数月, 半年多没上学,还好在那个年代没有耽误多少学业。1978年,恢复高考的第二年,我参 加了中专入学统考。在当地,对一个农村孩子来说,能上中专也就算出头了。中专没念上, 却阴差阳错地被县城的江苏省溧阳中学录取。 两年的中学生活对不少人来说也许仅是两年的 学习经历而已,但对一个体弱、贫穷的孩子意义却是非凡的,它完全是世界的改变。我许多 的人生第一从此开始: 第一次离家独立生活, 要计划如何从每月三元钱的生活费里省出期末 回家需要的八角钱路费;第一次接触到英语、生物、物理、化学等课程,知道除了语文、数 学,学校里还有那么多的课程;第一次体会到什么是学习,什么是无知;也第一次遇到了许 多优秀的同学和老师,其中的一些人对我一生都产生了重要影响。我与数学的缘,最初就是 来自于一位普通而可敬的老师--王荣章。 王老师是我们农村班的班主任,也是我们的数学老师。他教了我们两年数学,也做了两 年父母。在生活上,他关心我们到每一个细节,他得知我的生活拮据,特地找我父母谈,要 他们给我加点生活费,家里也想方设法地把我的生活费增加到了每月五元。在学习上,他不 仅尽心地教给我们数学知识, 而且对我们学的每门课程都要操心。 王老师为了给我们班争取 最好的老师, 引起了一些个人恩怨并给他的生活带来了许多不便, 但他在学生面前从来没有 表现出一点不愉快,也从来没有和我们谈过他生活上的事。 直到现在,我每次回溧阳都去看他,一见面就谈数学,他很关心我做的数学、思考的数 学问题,而且每次他都准备了很多数学问题问我,还经常要我给他寄些相关资料,他对数学 界的动态比我清楚得多, 我也很看重他的一些建议。 在我心目中, 他永远是一个合格的老师, 因为他很敬业,总是把数学教学和学生放在第一位。多年来,他一直在辅导中学生数学,虽 然在别人看来他打游击似地被各种学校临时聘用着, 但他生活得很快乐, 因为有数学陪伴着 他。他是我遇到的第一个纯粹地迷恋着数学,从不计较个人得失的人。 那两年中,要学的东西实在太多,没等我把周围的人和事弄清楚,中学时代就结束了。1980年高考后, 第一志愿我选择了北京大学数学系并如愿以偿。 是王老师把我领进了数 学的大门,我的人生从此又翻开了新的一页。

上了大学后,人才开始长大、懂事,慢慢明白了周围的世界。当时,学校每月发给我的 二十二元特等贫困助学金使我经济上独立了, 供我读书从此不再是家里的负担。 大学四年下 来,我还省下了一笔钱,给我父亲买了一件八十元的呢子大衣。更重要的是,原以为数学就 是只有华罗庚等几个人做的事,进了北大后,一下子看到有那么多的同学在念同样的东西, 后来更发现很多外国人也做数学,数学的世界顿时开阔起来。 与此同时,受北大文化的影响,我常常被文学、艺术、哲学等数学外的世界吸引,只要有兴趣的我都看。那时,我有很多梦想,被小说感动时,想做一个文学家;悟 出一些人生哲 理时,想做一个哲学家;偶尔也会被一个数学定理吸引一下。一个人的时间总是有限的,虽 然我当时还算用功,但数学上光靠这种偶尔的积累根本不够。付出的回报来得很突然,大学 四年后我没能如愿考上北大的研究生,此时才感觉到自己数学底子的薄弱。还好,当时山东 曲阜师范学院研究生缺生源,派人来京招生,我就毫不犹豫地去了曲师院数学系,也就没有 完全脱离数学。我不属于那种很懂事、有主见、很小就确立了人生目标并为之奋斗的人。一 点挫折就把我初上大学时的锐气几乎全磨光了。在曲阜时,受各种因素影响,我没能踏踏实 实地念书,即使是数学,也看得很杂。其实很多年以后我才意识到自己当时做学问的致命弱 点就是不专。常常对一个问题还没有看清楚,就感到自己很有想法,一下子就可以把问题解 决了。大概每个做数学的人都会有这样的体会,觉得把某个问题解决了,但很快就发现了错 误,可是犯得像我这样低级是很难得的。我是在对算子代数这个学科毫不了解的情形下,把 其中的一个中心问题——卡迪生(Kadison)猜想给解决了。把文章寄给卡迪生的第 二天,我就发现了自己的荒唐之处。一个月后,我居然收到卡迪生教授的来信,邀请我去跟 他念研究生。我的数学生涯又有了一个新起点……

受益于多位老师的帮忙, 1989年我来到了美国宾西法尼亚大学。 卡迪生已是六十四 岁的老教授了,第一次见面他就要我叫他的小名“狄克”(Dick)。我是他带的第一 个中国学生,也是跟他学习时间最长的学生。卡迪生是世界公认的算子代数之父,在冯·诺 依曼创立这门学科后,在近三十年的时间内,只有卡迪生和他的学生们在做这方面的研究。 他从来没有关心自己做的数学是否属于主流, 只是在他认为重要的方向里工作着。 他为人和 育人的方式也很独特,培养了很多优秀的数学家。 我刚到美国不久的一个夏天,卡迪生教授想教我学开车,我很快拒绝了他的好意,理由 是开车很危险,还有我没想在美国长留。他犹豫了片刻就开始跟我讲条件:如果我每天只教 你一个小时,一星期后保你拿到驾驶执照,并送你一辆车,你学不学?若我再不答应,他肯 定还会提出别的条件的。我只好说:就一星期吧,我试试。五天后,我果然拿到了驾照和他 送的一辆车。过后,我们在路上说起这事, 他很自信地说: 力明, 我要让一头猪爬上一棵树, 我也一定能做到。跟了这样一位老师,我只希望自己能比猪聪明些。 还有一次让我触动很深,在我毕业前,他帮我改论文,他的一丝不苟是人人皆知的。我 们大概花了两个月的时间把论文改得完全可读,我已觉得很满意了,可他坚持还要继续改, 我稍微显得有点不耐烦,他十分生气地对我说:你要记住,我的时间很宝贵,我愿意在你身 上花时间是你的幸运, 因为我对你有很高的期望。 确实, 卡迪生教授在我身上花的精力最多, 我是他学生中最幸运的。 毕业后,我们常联系、常见面讨论数学。八十多岁的他至今还在想问题、写论文、教学 生。 去年七月, 他在西安的一个暑期班上给六十多位中国研究生作了关于算子代数基础的系 列报告。能把知识传给学生他很幸福,他把对学生的培养看成是他生命的延续。他是一个纯 粹的数学家,他教给我数学,也使我对数学的纯粹有了更深刻的理解。

十多年来, 我听过陈省身先生的多次报告, 但一直没有单独和他聊过。 2003年夏天, 就托朋友预约到天津拜访他,他爽快地答应了。我对他来说是个陌生人,这在见面时也得到 证实。 我对他做的数学懂得很少, 我告诉他只是慕名而来, 同时他在美国的老朋友们想念他, 要我转达问候,并希望我把先生的近况转告他们。我们谈得就像老朋友一样,我说我想拥抱他一下,坐在轮椅上的他欣然同意了,并给我一个很热烈的拥抱,还签名 送给我一本他的文 集。我们的话题很快又回到了数学上,他还谈到了他在做六维球面的复结构问题,说是解决 的希望很大。谈话中,我始终表达着对他的敬佩,但他一再强调他不是名人,不是大人物, 只是喜欢做数学。我读了他的文集后,懂了:他是圣人,把数学做到生命的最后一刻是他的 幸福,他也是纯粹的数学家!遗憾的是不久就听到了先生仙逝的消息,以后只有在数学里聆 听先生教诲了。 近几年,我接触了很多国内数学界的老师和朋友,还有更年轻的学生们。年轻一代中也 有很多低调、勤奋、甚至用生命在做数学的优秀数学家。许多人大概都看到过有关我的同事 和朋友“挽救数学家席南华生命的‘生死时速’”的报道。他因工作劳累,呼吸困难,肺部 严重感染和肺积水入院治疗,检查后还发现他有严重肝硬化,属于肝癌早期。这几乎给一个 年轻的生命画了一个大大的句号, 他生命的一大半已交给了上帝, 而我们只有默默地为他祈 祷。如果有幸他还能走出医院的话,我想他一定要静静地休息一段,好好地保养一下身体。 不久后,我在数学所里看到了他的背影,他正在和别人谈论数学,我没有上前打扰。隔日去 听数学讲座时,又见到了十分单薄的他,我问他:南华,你怎么又上班了呢?他很有力地回 答说:没问题呀,我的身体不是很好么!我无言以对。一个痴迷数学而不惜生命的人一定是个纯粹的数学家。

我们这一代数学人多少受华罗庚、陈景润、歌德巴赫等名字的影响,与他们相关的数学 曾经是中国数学的主流。最近几年,“主流”似乎被其它方向取代,但数论中和素数分布、 歌德巴赫猜想等有关的问题是如此简单又无法回答。多年来,我常被这些问题困扰。上个月 上班的路上,我碰到了王元先生,和他闲聊间,不知不觉地又聊到了数论上,他很关心非交 换几何与黎曼假设的联系。 我听说素数定理的初等证明本质上就是非交换几何的思想, 告诉 他我在念华罗庚的《数论导引》。他问我有没有华老的书,我说是借的,他马上送了一本给 我。我读书不多,藏书更少,但这本书我一定会好好读的。我更希望把华老、元老等发展起 来的中国数论传统和数学文化继续并传承给更年轻的一代。 能常常和我敬重的先生们聊数学是我的荣幸。 对我来说更幸运的是有那么多为数学默默 奉献的人,没有他们,我们寸步难行! 小学五年级时,因家里穷,父母要我辍学在家帮忙。我的班主任林渝生来到我家和我父 母谈,希望让我继续念书,并表示他愿意承担我生活、读书的全部费用。我爸说:林老师, 您大学毕业,不就在农村教书,还常被人揪出来斗一斗,我儿子有您这样大的学问又有什么 用?林老师坚持说知识会有用的,世界会变的,无论如何不能让我这么小就停学在家。老师 的执著生效了,我继续上学。上个世纪八十年代初,年轻的林老师病逝了。他走了,可他留 下了许多新的生命,其中至少有一个是数学的生命。 每个人的经历不可能一样, 同龄的人都会有一些类似的经历, 能选择数学为职业的可能 不多。对我来说,数学的魅力在无数鲜为人知的故事中,在无数辛勤耕耘又不图收获的普通人身上。他们每天都在我们身边,编织同样的故事、帮助我们、启发我 们、鼓励我们,是他 们创造的数学的纯粹让我感动。我无法回答什么是数学,但它是我一生无悔的选择,我愿像 我的老师和朋友们一样做一个纯粹的数学家,给数学带来更多的纯粹。 致谢: 感谢中国数学会和北京师范大学张英伯老师的邀请, 也感谢首都师范大学朱一心老师的邀请。 该文是以我在威海和首师大作的两个报告为题材写成。 朱一心老师说我所谈的很“纯粹”,文章题目由此而来。

附记:葛力明教授,1980年毕业于江苏省溧阳中学,1984 年于北京大学获学士学位, 1987 年在曲阜师范大学获硕士学位,1995 年获宾州大学博士学位。现任美国 New Hampshire 大学教授,中科院数学与系统科学研究院研究员,中科院“百人计划”获得者, 北京大学数学科学学院应用数学专业,长江学者特聘教授。 葛力明博士应邀在2002年 国际数学家大会上作45分钟报告(在历史上我国仅有几位著名数学家能享此殊荣),是我国最年轻的享有国际声誉的数学家之一。 葛力明教授是溧阳市八 0 届高考理科状元,八 七年考取中国科技大学博士研究生,八八年赴美国宾夕法尼亚大学攻读博士,九五年、九八 年分获“美国科学基金会”博士后奖和“美国总统数学成就奖”, 现任美国新罕尔什尔州立 大学终生教授、博士生导师。

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1+1= 2 ?

前注:这篇文章原本是写给中学生和大学生的,后来发现可能有更多的人会感兴趣,比如:学龄前的儿童和家长,所以贴到这里来。我写这篇文章的缘起比较复杂。最早来源于一些职业数学家对范畴学太抽象的抱怨,他们希望看到的数学是象1+1=2这样“简单”,容易“理解”和可以计算的数学。我想通过这个例子来 说明,小孩子想问题天生就是categorical的,当我们学了很多decategorified的数学以后,很多人反而不能接受范畴学。所谓“抽象” 往往也只是因为我们对它的不熟悉而已。就象你刚刚走进一个100层的摩天大楼,它的丰富结构会让你觉得相当迷失或“不理解”,但是你不会说这个大楼的内部结构很“抽象”,因为你知道时间长了,你就知道第几层有个画廊,画廊旁边是个书店, 而书店的二楼有一个美丽的姑娘卖咖啡,等等。其实很多抽象的数学理论只是一座座崭新的摩天大楼而已,熟悉他们需要的只是时间与耐心。

创造力的来源是天真
--伟大的数学家Alexander Grothendieck

我希望大家和我一起回到学龄前儿童的状态。只有这样你才能看清问题的本质。

1+1=2 是一个很难的问题。我们真正理解了吗?

第一个难点是:什么是”1″?
第二个难点是:什么是”+”?
第三个难点是:什么是”=”?
第四个难点是:什么是”2″?

什么是”1″?小孩儿不知道什么是”1″ ,你知道吗?你见过1吗?通常情况下,老师的教法是用实物,比如用带磁铁的小猪,小鸭,苹果,香蕉。可以把他们吸到带金属的黑板上,真实可见的东西是的我 们对存在的基本体验。其他都不太可靠。我们谁也没有见过1。那让我用符号 O 来表示苹果,J 来表示香蕉。

让我们把他们放到一起,于是黑板上出现了如下公式:

(1)O+O=OO,

好吧。我们见过苹果,所以O没什么问题,但什么是”+”?什么是“=”呢?其实小孩一般还可以接受(1),接受的办法就是忽略“+”。(1)不就是 “OO=OO”吗?理解“+”太难了。我先跳过。先来谈谈“=”,其实这个更难!“=”(等于)是一件很难理解的东西。在现实世界里我们基本没有见过两个 完全一样的东西。“OO=OO”两边的苹果其实是不一样的。也许他们的颜色有些区别,或磁铁的吸力的差别,等等。那么”=“就很难理解了。在生活里的中 文,我们不说等于,我们说”一样“。左边的“OO” 和右边的“OO”在什么意义下是“一样”的呢?通常我们只能说我们可以建立左右两边的一一对应(遗憾我还是用到了一一,呵呵)。比如:

OO (左)
|  |
OO  (右)

其实孩子们是敏锐的。一定有看上去很“笨”的孩子纳闷,为什么老师不选择下面这种呢:

OO  (左)
X
OO  (右)

如果我们定义左右两边的苹果“一样”就是有一一对应,那么左右两边的苹果至少有两种不一样的“一样”!这又是什么意思呢?这是不是在说左右两边的苹果还是不太一样呢!那你让一个深刻(天真而已)的孩子如何理解呢?

插个小评论: 很多深刻的孩子在我们肤浅的教育的第一步,就开始被磨灭他们的天才,打击他们的信心。孩子们学到的是如何让别人满意,而不是去理解。只有“聪明”的孩子才讨老师喜欢。

一般幼儿园的老师会这样加强理解。假设孩子们已经有了对“OO=OO”一种模糊的理解。我们在来类比地加强这种所谓”理解“。我们再摆一个在板上:

(2)J+J=JJ

当然其实就是”JJ=JJ“。按我们的假设孩子们已经有了对“JJ=JJ”一种模糊的理解。这时候老师试图能够“抽象”出来一个概念1和2。办法就是试图 说明O和J,OO和JJ也在某种意义下是“一样”的。可是对孩子来讲JJ与OO很不同啊,只能说JJ与OO可能可以对应起来。具体做法还是给出一个对应, 比如:
OO
|  |
J J
但这不是唯一的选择。还可以有如下对应:
O O
X
J  J
注意给出一个轻轻楚楚的对应是很有必要的,否则我们无法将JJ与OO等同起来更无法理解”2″。这一点可以有下面的情况来说明:请比较
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO 和
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ。
不给出一个对应,天知道他们怎么是回事儿。我是随便写的,不会有同学真的去比较他们吧,最好不知道,留下一个未知的神秘感。

总结一下。

1。我们其实顶多能够把“=”理解成一种对应。
2。而这种对应往往还不唯一。两个东西可以以两种不同的方式“一样”,还是一样吗? What does this mean?
3。这两条其实在说,我们原来以为的“=”是一种“绝对的一样”(我也不知道我指什么,你们知道吗?)可能是一种误解。

问题:我们能不能通过所谓的“抽象”过程,能够在另一种“抽象”的层次上建立“绝对的一样”的概念呢?那么1+1=2是不是就可以严格的定义和理解了呢?

插个小评论:我们通常说的所谓抽象,其实是故弄玄虚的不解释,不知道或者逃避困难。我们自己解释不清楚了,我们就说只可意会不可言传。 实在急了,我们就说:你咋抽象能力这么差呢?真TMD的笨!

好让我们来考察一下,能不能在一种“抽象”或神秘的层次上定义什么是1和建立一种“绝对的一样”的概念?

假设我们能够理解一个集合,也就是 a family of apples, bananas, … etc. 孩子们“好象”也知道,好吧。数学(其实只是集合论)里“抽象”出来的办法是要提出一个新的概念叫“cardinality”。这个概念依赖其他的概念:

1. equivalence relation (等价关系)
2. equivalent class (等价类)
3. equipollence

我并不打算走进这些细节。只说思路。就是我们希望把OO和JJ等价起来。我们先规定一种等价关系,就是说如果 OO 和 JJ 存在一种一一对应(不管有多少不同的对应),我们就说 OO和JJ 是 equipollent 的。这样的话,OO 就  equipollent to JJ,AA, , 等等。那我们就可以“抽象”地定义一个叫所谓“equivalent class” (which is very subtle).  “equivalent class”就是把所有那些和OO equipollent 的东东(好象东西没东东合适)都装到一起:

OO,JJ,AA,PP,木木,aa,   , 。。。。

然后我们就可以定义(1类似):  2 = the equivalent class of
OO,JJ,AA,PP,木木,aa,   , 。。。。

但是这个equivalent class到底是什么呢?它是在怎样一个层次上的东西(结构?)呢?它还是我们通常所说的原来那个层次,象“OO”一样的集合吗?但它好象是一个集合的集 合?(小心:罗素的悖论 –>  the “set” of all sets is not a set!)

“equivalent class” is in general not a set! It is a class. Oh, my god? What is a class?

再问下去,我们只好走进集合论的公理系统和数理逻辑。嘿嘿,到现在为止我好象还没有完全解释清楚什么是1和2。+和=就别提了。有几个理由我们不再往下走了。

1。最终我们是不是能完全理解1+1=2?Very unlikely!公理是人写出来的,不是God given的。即使我们建立了集合论的公理系统,而且完全定义了1+1=2。因为达到同样目的的公理系统不是唯一的,最终我们仍然需要选择和设计我们的公 理,要做一些人为的和不一定自然的选择。这种不唯一性是会令人不安的。

2。更有甚者:数学的基础也不一定要建立在集合论上。还有别的可能。比如也可以建立在范畴学(category theory)里的elementary topos理论上,最近一些年有新的一些趋势,就是在higher category的框架下建立一个新的数学基础。

虽然不再进入集合论的公理系统和数理逻辑细节,仍然有很多小孩都很容易把握的藏在 1+1=2 的深刻数学需要讨论 !

后注:其实这是一个论坛里的一个帖子,后面还有很多的回帖和后续文章,所以结尾有些奇怪。回帖和后续文章很多,就不一一贴出了。

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A visit to Stony Brook

s 3/1/2010:

Without being informed before it actually happened, I found myself sitting with K. Costello, M. Douglas, J. Morgan, D. Sullivan, A.J. Tolland, B. Vallette etc. in the common room of the Math department at Stony Brook. It was supposed to be one of a series of dialogues between physicists and mathematicians. During the conversation Douglas proposed a conjecture of Kontsevich-Soibelman:

Conjecture (Kontsevich-Soibelman):

A CFT satisfies gapped positive energy condition if all the eigenvalues E_i of the Hamiltonian (H=L_0 + \bar{L}_0) are non-negative and E_i=0 or E_i \geq h for some h> 0. The conjecture is that the space of all CFTs with a fixed central charge satisfying gaped positive energy condition is precompact.

The conjecture is an analogue of a theorem in Riemannian geometry (I don’t know if the following statement of the theorem is correct. I just copy it from Douglas’ handwriting on blackboard. The precise statement is not very important to us.) :

Theorem (Cheeger-Gromov):

The space of Riemannian manfolds with the diameter of M smaller than \frac{1}{n} and satisfying |K| < 1, \mathrm{vol} M \geq \epsilon is compact.

Kevin Costello was asked if it is true in TCFT context. Kevin replied no. It quickly became clear that it is perhaps a good sign because the states in a TCFT are all vacuum states. Maybe it can be viewed as an evidence of the necessity of the gapped positive energy condition.

One might feel weird when he/she see this conjecture for the first time. The conjecture is not so well-defined. We don’t even know what the definition of CFT is, needless to mention the topology on the space of CFTs. However, this conjecture make perfect sense to me!

After Michael Douglas wrote down the conjecture, Kevin asked immediately how they come up with such conjecture. Michael answered “well, you had better ask themselves.” Although this conjecture make a lot of sense to me immediately, only when I was preparing my talk which was delivered today, I found more to say about this conjecture. So I added it to my today’s talk as the last part.

After nearly an hour introduction to my own proposal that a CFT should be viewed as a stringy algebraic geometry or a 2-spectral geometry, which should recover Riemannian geometry in certain classical limit, I put down the following derivation of K.-S. conjecture:

a 2-spectral geometry = a CFT

\mathrm{diam}(M) < \frac{1}{n} \Longleftrightarrow energy is gaped.

|K| \epsilon \Longleftrightarrow ??

By adding the natural positive energy condition and ignoring ??, we arrive at the K.S. conjecture.

It is already quite interesting. But one should not stop there. It is natural to ask if we can do better?

If you are familiar with the classification of open-closed rational CFTs, you definitely can say more. Although the classification result is only available for the rational cases, it indeed suggests a lot for the irrational case as well. For example, it is reasonable to believe that the closed algebra in an irrational CFT should also be a commutative symmetric Frobenius algebra in a braided tensor category. So let \mathrm{Vir}_c be a VOA generated by its Virasoro element with central charge c. It is natural to expect that the category of \mathrm{Vir}_c-modules, satisfying gapped positive energy condition plus some other natural conditions, gives a braided Frobenius tensor category as some kind of a categorification of a commutative Frobenius algebra. Then we can reformulate K.-S. conjecture and propose the following three potentially different conjectures.

Conjecture 1: The space of isomorphic classes of commutative symmetric Frobenius algebras in Z(\mathcal{C}_{\mathrm{Vir}_c}) + some conditions (modular invariance condition) is pre-compact.

Conjecture 2: The space of the Morita classes of simple symmetric Frobenius algebras in \mathcal{C}_{\mathrm{Vir}_c} is pre-compact.

Conjecture 3: The space of the equivalent classes of indecomposable module categories over \mathcal{C}_{\mathrm{Vir}_c} is pre-compact.

Look, these conjectures are still not well-defined because we don’t know what topology to choose if there is any interesting topology at all. But let us leave such problem aside for now. Conjecture 3 reminds me of a conjecture by Ostrik:

Conjecture (Ostrik): For a given rigid monoidal category \mathcal{C} with finitely many irreducible objects there exists only finitely many inequivalent indecomposable \mathcal{C}-modules.

Motivated by Ostrik’s conjecture, we would like to give a continuous version of it.

Definitions:
1. A topological Frobenius tensor category \mathcal{C} is a Frobenius tensor category endowed with a proper topology.

2. \mathcal{C} is called compact if the space of 0-dimensional objects (whatever it means, D0-branes?) is compact.

Then we can propose the following conjecture:

If a topological Frobenius tensor category \mathcal{C} is compact, so is the space of equivalent classes of indecomposable \mathcal{C}-modules.

I don’t know how to make the space of equivalent classes of indecomposable \mathcal{C}-modules into a topological space. But I hope that readers will find this endeavor interesting.

I don’t remember how the dialogue was ended. I forgot to ask them if such a dialogue is a regular event at Simons Center. But my impression is that it is certainly not the first one nor the last one. I expect that it will happen very often in the future. I think that Stony Brook is a very good place to study mathematical physics.

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Grothendieck on innocence

Let me start my blog with some powerful words by Grothendieck that I would like to share with you all.

In our acquisition of knowledge of the Universe (whether mathematical or otherwise) that which renovates the quest is nothing more nor less than complete innocence. It is in this state of complete innocence that we receive everything from the moment of our birth. Although so often the object of our contempt and of our private fears, it is always in us. It alone can unite humility with boldness so as to allow us to penetrate to the heart of things, or allow things to enter us and taken possession of us.

This unique power is in no way a privilege given to “exceptional talents” – persons of incredible brain power (for example), who are better able to manipulate, with dexterity and ease, an enormous mass of data, ideas and specialized skills. Such gifts are undeniably valuable, and certainly worthy of envy from those who (like myself) were not so “endowed at birth, far beyond the ordinary”.

Yet it is not these gifts, nor the most determined ambition combined with irresistible will-power, that enables one to surmount the “invisible yet formidable boundaries” that encircle our universe. Only innocence can surmount them, which mere knowledge doesn’t even take into account, in those moments when we find ourselves able to listen to things, totally and intensely absorbed in child’s play.

— Alexander Grothendieck

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