偏执的完美

我总觉得人就是一个会犯错的动物,很多的作品,不论是数学物理论文,还是文学,评论,艺术,除了有闪光之处,往往也有很多的缺陷和不足。这正是一个特别正常,特别有人味儿的现象。

每一位数学家都清晰无误地把自己的恐惧,虚荣,急躁清晰地展现在他她的作品里。 而在每一件伟大的作品里,我们都能看到那种超乎常人的耐心,没有一点急躁,有的是达芬奇的绘画里面的那种永远拒绝加速的悠然自得。

但是每当我看到一个毫无缺点,近乎完美的作品的时候,我就能感受到作品背后的一个偏执到接近疯狂的灵魂,就象米开郎基罗的西斯廷的天顶画,那简直是非人力所及,难怪达芬奇也觉得“五雷轰顶”。Edward Gibbon的《罗马帝国衰亡史》和 Grothendieck的数学著作都是一样的breathtaking。可以想像作者内心的不平凡,或许那个内心是巨浪滔天:

 You must have chaos within you to give birth to a dancing star.
Friedrich Nietzsche(尼采)

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倾听大自然的箫声

发现往往是在有意和无意之间,更多的是一个倾听和接收的过程,是每一个孩子都自然拥有的能力。最让我着迷的问题总是那些根本不知道如何formulate,或者not well-defined的问题,因为这些问题特别容易让你进入和享受这个倾听和接收的过程,这时候所有的知识都是包袱,你只需一个本来无一物的自由心灵,这时候也最是急不得,需要静下来,忘掉所有知识带来的噪音,一起来倾听大自然的箫声。

我们中国的教育非常强调知识,强调基础,仿佛真的有那么一个“基础”,确实有很多的数学家也确实相信有那么一个基础,在此之上他们建立了自己的美丽富饶的精神家园,但是美丽富饶家园往往也成了最坚实的精神牢笼。我不知道这个基础是什么,我也不相信它真的存在,我们离找到适合描述大自然的语言还很遥远,我们的寻找也许永远也没有尽头。在这个漫长的寻找和等待的过程里,很多时候知识都是包袱,你更需要一个能够去倾听的能力,一个曾经被我们的教育不断地剥夺的能力,这个能力当然也可以重新练习,天真也一定可以修行,否则佛教徒都是徒劳了。

小刚老师问过“我们如何研究根本不知道是什么的东西”的问题,Grothendieck给出了一个非常有深度的回答。我们的修行也可以从聆听这位智者的低语开始,以下摘自Grothendieck的《收获与播种》。

One cannot invent the structure of an object. The most we can do is to patiently bring it to the light of day, with humility – in making it known it is “discovered”. If there is some sort of inventiveness in this work, and if it happens that we find ourselves the maker or indefatigable builder, we aren’t in any sense “making” or “building” these structures. They hardly waited for us to find them in order to exist, exactly as they are! But it is in order to express, as faithfully as possible, the things that we’ve been detecting or discovering, to deliver up that reticent structure, which we can only grasp at, perhaps with a language no better than babbling. Thereby are we constantly driven to invent the language most appropriate to express, with increasing refinement, the intimate structure of the mathematical object, and to “construct” with the help of this language, bit by bit, those “theories” which claim to give a fair account of what has been apprehended and seen. There is a continual coming and going, uninterrupted, between the apprehension of things, and the means of expressing them, by a language in a constant state improvement, and constantly in a process of recreation, under the pressure of immediate necessity.

As the reader must have realized by now, these “theories”, “constructed out of whole cloth”, are nothing less than the “stately mansions” treated in previous sections: those which we inherit from our predecessors, and those which we are led to build with our own hands, in response to the way things develop. When I refer to “inventiveness” ( or imagination) of the maker and the builder, I am obliged to adjoin to that what really constitutes it soul or secret nerve. It does not refer in any way to the arrogance of someone who says “This is the way I want things to be!” and ask that they attend him at his leisure, the kind of lousy architect who has all of his plans ready made in his head without having scouted the terrain, investigated the possibilities and all that is required.

The sole thing that constitutes the true “inventiveness” and imagination of the researcher is the quality of his attention as he listens to the voices of things. For nothing in the Universe speaks on its own or reveals itself just because someone is listening to it. And the most beautiful mansion, the one that best reflects the love of the true workman, is not the one that is bigger or higher than all the others. The most beautiful mansion is that which is a faithful reflection of the structure and beauty concealed within things.

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左岸的莎士比亚书店和老George

那是一个礼拜天的午后,书店朝北,没有午后斜阳的眷顾,倒是正对着塞纳河对岸的巴黎圣母院,看的到圣母院广场的飞鸽,也不时听的到教堂的钟声,那仿佛来自远古的宁静,让文学与宗教在这个四壁缥缃的小书店里浪漫地邂逅。

老George是莎士比亚书店的老板,几天前他让我来喝他的礼拜天的下午茶,所以我早早地就到了,还带来了一袋新鲜的龙井茶。tina是那天的茶夫人,我就做了她的助手。时间还 早,我们俩挤在老George的卧室,看满墙的照片,听老George讲照片里故事,照片里全是20世纪英美文学的巨匠:海明威,詹姆斯.乔伊斯,伍尔 芙,康明思,。。。,也都是老George的朋友。90多岁的George做了一辈子的红色绮梦,所以才能在巴黎左岸拉丁区的黄金地段为英语世界无数的文学青年维持着一个共产公社。书店到处可见脏兮兮的短床,老George让他们白住,只要求他们每天在这书的海洋里花一个小时写作。Tina是来自澳洲的诗 人。我还见过几个美国来的姑娘和小伙子。据说那些散发着布尔什维克味道的短床,接待过几万个来自世界各地的文学青年。

那天下午,我们聊了很多海明威,也聊到了中国。我说中国也应该开几个这样动人的书店,老George突然笑咪咪地说:北大想请他去开个书店。我问:为什么没去?他说他不喜欢北京,他喜欢上海。我心里掠过合肥,不过没敢提,只是追问他:为什么不在上海办呢?他笑而不答。我想起了泰戈尔喜欢的南京,就再问:南 京怎么样?他说他很喜欢南京,出了一会儿神,他又补了一句:“我出生在南京”!

—- 2006年秋于巴黎南郊的法国高等研究院

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《阳光灿烂的日子?》-周平

[孔良注:这是我在1996年的春天读到的第一篇有关文革中的科大的文字。姜文的电影《阳光灿烂的日子》在1995年9月1日上映,周平的文章大概也是随后出现在网络上的。]

中国古代有个寓言叫“瞎子摸象”,它告诉人们,每个人都从自己所处的社会
地位观察世界,对于同一事件的看法和观点截然不同。最近看到姜文先生描写文革
的大作“阳光灿烂的日子”,他说的不错,对于军区大院的红五类,文化大革命的
确是“阳光灿烂的日子”,那是他的观点和感受,但是如果年青的朋友看了这部电
影后,认为文化大革命很好玩,“阳光灿烂”,那倒是非常令人担忧的。

我借用姜先生的题目,讲一段发生在很久以前,几乎被人们遗忘的故事。

1964年,我怀着当居里夫人的梦想跨进了科大的校门,正是风华正茂的年
岁,作为名牌大学的学生,我是多么自负,自傲和自信。“这世界是我们的!”

然而一场突如其来的文化大革命不但打破了我当科学家的美梦,而且一下子把
我从天上摔进了无底的黑洞,连我自己还没搞清楚怎么回事,一夜之间就成了“炮
打无产阶级司令部”的“现行反革命份子。”

1967年元月一日出现在西单墙上和玉泉路科大校园里的署名“科大雄师战
斗队”题为“中央文革向何处去?”的大字报,曾经是轰动北京城的大新闻。它就
象一颗小小的流星,在黑暗的天空中闪烁了瞬间,就消失在茫茫的宇宙中。而我和
我的同伴却为此付出了十年的青春,从二十岁到三十岁,这如花似锦的岁月是人生
最美好的年华。而我的青春刚刚开始,就被扼杀了,被摧残了。

1966年十二月初,我从外地串联回到北京,听说北京的一些高校和中学的
学生被抓起来了,因为他们反对无产阶级司令部,反对林副主席和江青同志。我看
了那些“大毒草”,象伊林·涤西的“给林彪同志的公开信”,北大“虎山行”的
“给江青同志的一封信”等等。觉得这些年青人很有思想,他们的大字报讲得挺有
道理,十六条规定学生的问题一律不整,抓学生是违反十六条的。我把这些想法和
一些同学讨论,大家观点都比较一致,就商量着要写一张大字报阐明我们的观点。

“中央文革向何处去?”这张大字报是由近代物理系青年教师朱XX,近代物
理系学生冯XX和我共同起草的,后来在雄师全体会议上讨论修改后于1967年
元月一日在西单墙上和玉泉路科大校园里贴出。因为多次抄家,这张大字报的原稿
我已经找不到了,我记得这张大字报的主要内容有以下几点:1.讲话风:中央文
革以无产阶级司令部自居,每到一处就表态,支持一派,打击一派,造成群众组织
的对立,2.抓人风:中央文革叫群众火烧这个,炮打那个,可就是自己碰不得,
把持有不同意见给他们贴大字报的群众抓起来,开创了文化大革命中用专政的办法
处理不同意见的先例,这是不符合十六条精神的。元月五日,我们又贴出了雄师的
第二张大字报“分歧在哪里”,这张大字报是由我起草,在雄师全体会议上讨论修
改后发表的。因为我们的大字报调子比较低,讲得又比较切合实际,校内外有相当
一部分群众同情支持我们的观点。

我那时真是太天真幼稚,也是太狂了。真不知自己有几斤几两。我们这群书呆
子,装了一脑袋数理化,读了一肚子古今中外名著,可对于政治斗争的知识却连幼
儿园都没有毕业。在我那科学家的头脑里,文化大革命就象解一道数学方程,按照
一定的逻辑和原理推下去,就会找到唯一的解。后来我才认识到,这个方程不但不
能按照常规的逻辑和原理求解,而且它跟本就没有解。

元月十日,XXX组织抄了我们几个人的家。

元月十四日,北京市公安局将雄师主要成员朱XX,冯XX,我,江XX,黄
XX逮捕。科大雄师战斗队只有半个月的寿命就垮台了。

据说当时公安局抓我们是看我们的大字报口气那么大,以为我们有很硬的后台
,要把我们的后台揪出来,审查来审查去,才发现我们只不过是一群不知天高地厚
的大学生,雄师骨干成员都是工人农民和知识分子的子女,大字报是我们自己起草
的,是我们自己干起来的,没有什么人指使我们,也没有后台。这就叫作初生牛犊
不怕虎。

我到现在也不知道我被关押的是哪个监狱,但我知道里面关的全是文革中的政
治犯,而且我不是最年青的。那个把我带到女牢的女警察看着我挺惋惜地说:“这
年纪轻轻的大学生就蹲了大牢,这辈子可惜了。”她这话当时我根本不明白,我还
没有想将来的事,我想的是要当江姐。

那个女警察把一间牢门打开对一个中学生模样的女孩说:“小兵,我给你找个
人作伴。”我一看就知道她是个中学红卫兵,一身军装,扎两个小辫,她床上放着
一件很高级的军呢大衣,看来还是个来头不小的高干子弟。她告诉我,她是八一中
学红卫兵的头,也是首都红卫兵联合行动委员会(联动)成员,今年十七岁,爸爸
是总参的,中将。我告诉她我是职员出身,爸爸是教师。“是知识份子?”她有些
轻视地说。但当她听说我是雄师的,马上和我“哥们”起来。她说,你们胆子还真
大,还敢写“中央文革向何处去?”我说,我现在也觉得这个标题有些不合适。

公安局的人第一次审讯我的时候,我一直坚持,我没有反对谁,只是贴了张大
字报提了点意见,是符合十六条的。按照科学的逻辑和思维方法,既然他们可以给
国家主席和老帅们贴大字报,我们给中央文革贴一张大字报有什么了不起?(多么
幼稚可笑!)审讯人员问我是否说过“毛泽东思想可以一分为二”,我说不一分为
二就不会有发展。他们问我是否说过林副主席讲的“毛泽东思想是顶峰,毛主席比
马恩列斯都高”是不对的。我说任何事物都要发展,没有顶峰,任何真理都是一个
历史阶段的相对真理,马恩列斯毛都是一个历史时期的伟大人物,不能说谁比谁高
。他们还问我是否讲过“江青是小资产阶级感情,爱哭。”这是我写在日记上的。
现在的年青人看了一定会觉得这都是大实话,没有什么了不起。我当时也是这么想
的,所以就都承认了。我看到审讯人员在不停的记,我当时还没有意识到,我的狂
妄和幼稚已经毁了自己。我那时真傻。

监狱的生活漫长而单调,每天都吃一样的东西,早晚各一个窝头一碗菜汤,中
午两个窝头一碗菜。除了毛选和当天的人民日报,别的什么都不能看。每天看着太
阳升起落下,想到青春在渐渐消磨掉,饥饿,孤独,寂寞和恐惧动摇了我的勇气。
我受不了了,我害怕了,我怕一辈子呆在这里。我投降了。我学会了说谎,违心地
写检查交代,自我批判,希望能得到宽大处理,早日出狱。

半年后,公安局把我们送回学校,交给XXX组织的专政队,接受群众监督批
判。从监狱里出来的我完全变了个人。我从名牌大学生变成了“一小撮”,从科学
的殿堂沉到了社会的最底层。我迷茫,我想不通。我不知道我怎么错了?为什么错
?今后该怎么办?我找不到答案,觉得好委屈,我想躺在爸爸妈妈的怀里大哭一场
,但他们远在天边,自身难保,那时除了我,我的一家都在新疆农场,爸爸在农场
被监督劳动,刚刚动过乳腺癌手术的妈妈还要下地去割稻子,两个初中刚毕业的妹
妹也下到农场劳动。我不能告诉他们我在这里所发生的事情,我不能让他们再为我
担忧了。

我曾经想到过死,仅仅有一次。那是在马鞍山一铁厂,1970年,科大从北
京下迁到安徽,分散在淮南,合肥,白湖和马鞍山。化学系是在马鞍山。一打三反
运动开始后,在淮南煤矿,在合肥,在马鞍山,科大已经有几个老师和同学因承受
不了压力自杀了,有的卧轨,有的上吊,有的服毒……。我因为是“雄师头目”自
然是批判重点,经常在夜里被拉出去提审,白天站在台上受批判,还要没完没了的
写检查,交代。

一天早晨,炼焦厂传来一个惊人的消息,6435班的小光也自杀了,我大吃
一惊,她是我们同年级的同学,大家相处了五年,这么年轻的生命一下子就消失了
。我心里一惊,很想到炼焦厂去看她最后一眼,但工宣队讲,谁也不许去。那天早
上,张队长在大会上讲,她是畏罪自杀,是现行反革命分子,死了还要批,她的家
属是反革命家属。那天上午的批判会就是让他们班上的人发言批判她,我听了半天
,也没听出她有什么了不起的大问题,只不过平常聊天时,说了江青几句话。而且
说她在1966年十二月黑风中,支持雄师观点,同情雄师份子。当我听到有人在
呼“罪该万死,死有余辜”的口号时,我实在承受不了了。人都死了,还要怎么样
呢?几年前当我们满怀着美好的理想一起跨进科大校门的时候,谁会想到有这样的
悲剧发生呢?

那天下午,工宣队找我谈话,问我有什么想法,我说我的问题比她严重得多,
张队长说,你们的性质都一样,都是反对无产阶级司令部,你们这些大学生简直是
太狂妄了,国家花那么多钱培养你们,你们还胆敢把毛泽东思想一分为二,胆敢反
对林彪同志和江青同志。我说,我没有反对谁,只是贴了张大字报提了点意见。张
队长大叫着说:“只是”,你还“只是”!象你这样的问题,要不是党的政策宽大
,要不是看你们是青年学生,你早就该坐大牢判刑了,你还嘴硬,你还想翻案,你
真是死不悔改。今天晚上写一份检查,明天准备接受批判。你要是再不老实,我们
就再把你送进监狱专你的政。

晚上,其他同学都睡觉了,我还在昏暗的灯下写检查。那时我们住在一铁厂炼
铁炉旁的一个工棚里。七月的马鞍山,夜里,还有三十六、七度,但我还得穿着长
裤和长衣,套上雨鞋,因为蚊子太多了。我的脸被蚊子盯了好几个大包,内衣都湿
透了,我拿着笔楞楞地坐着,一个字也写不出来。那个聪明文静的孩子的影子一直
在我的眼前晃动。我想起了陶渊明的挽歌:“亲戚或余悲,他人亦已歌,死去何所
道,托体同山阿。”这是我一生头一次遇到我熟悉的人死去,而且死得这么惨,我
听说她是从二楼跳下来的,头朝下,血和脑浆流了一地……。我简直不敢想象那可
怕的场面,昨天还是个活生生的人,今天怎么就什么都不知道了?人生怎么就这么
短?

我走到门外,看到那漆黑的夜幕上点缀着无数的星星,我记得,安徒生的童话
里讲,人死了后就升到天上,变成了一颗星星,我想她一定是那颗最亮的,因为她
是多么年轻美丽。她已经解脱了,而我还在没完没了的受煎熬,我不知到明天怎么
过关?更不知道我的未来,象我这样有严重罪行的人,还会有什么未来?

工棚门口有一条铁路是送原料到高炉去的,每天夜里都有火车驶过。我闪过一
个念头,只要我往铁轨上一躺,火车一过,我就什么也不知道了,我也解脱了。当
这个念头一闪过,我出了一身冷汗。赶紧跑到水龙头,拿凉水把头浇湿,让自己清
醒过来。我双手紧紧抓住水管,生怕我不能控制自己。我想我不能死,我的生命是
多么渺小,微不足道,中国有九亿人呢,我死了算什么!我一死,工宣队会宣布我
是畏罪自杀,是现行反革命分子,死了还要批,我的家属是反革命家属,其他的人
只不过多了个饭后茶余的话题,然后被人忘记。而我的亲人,爸爸,妈妈,妹妹和
我的祥会痛苦一生,我的生命对他们是多么重要,他们是多么爱我,他们不能失去
我,而我在这个世界上最留恋的也就是他们了。只要我活着,就是对他们的安慰,
最坏的结果,把我分配到新疆农场,就在那天苍苍,野茫茫的大草原上和亲人们度
过一生。

我回到工棚里,钻进蚊帐里,汗水和着泪水,把枕头和席子都打湿了,迷迷呼
呼的,直到天亮才睡着。

第二天,太阳依旧升起来,人们依旧生活着,谁也不知道昨夜发生的事。而我
却为昨夜发生的事感到后怕。生命是多么可贵。连动物,花草都留恋生命,更何况
人,无论如何,我要活下去。活着就是为了爱你的人,也为了你爱的人。许多年后
我读到琼瑶的小说,她说过同样的话,我感到我的心和她是相通的。

为了活着,我必须学会保护自己,适应环境,我必需磨掉自己的任性和傲气,
我必须学会忍耐和服从。我知道,我的命运是掌握在工宣队的手里,今天他们说的
每一句话,都会决定我一生的命运。我必须顺着他们来。他们让我做什么,我就做
什么。我已经适应大批判了,我是一个活靶子,XXX组织给我编了一本“现行反
革命份子周平三反言论集”,我象被人要弄的猴子,脖子上挂着“现行反革命份子
周平”的牌子,从一个批判会揪到另一个批判会。好象我活着就是让人批判的,对
于这些我已经麻木了,我已经对任何的批判没有了感觉,反正说什么都一样。

虽然我被迫讲了许多谎言,但我这个人良知还在,我有一个基本原则,不管怎
么说,我不乱咬人,我不能无中生有。在整个过程中我没有伤害任何人。这事至今
回忆起来,我问心无愧。

我是一个非常不幸的人,又是一个非常幸运的人,因为我有我的祥,我那患难
与共,生死不渝的亲人,我那给了我生活希望,陪我走过人生坎途的伴侣。那时同
情我的人不少,但只有他有勇气来接受我,和我一起面对任何可能发生的事情。为
了我,他承受了巨大的压力,作出了极大的牺牲。后来别人问他怎么当时选择了我
,他回答得简单而实在,他说,我真的觉得她很委屈,我不忍心看她一辈子受苦,
我要保护她。在当时敢于选择我的男人真是要有不平常的勇气和不平常的胆量。他
并不难找到一个贤妻良母型的姑娘过平平常常的日子,他没有必要自找这个麻烦,
自己背上这个包袱。劝他的人不少,但我们终于还是走到一起来了。我想这就是天
意,这就是缘份。人生难得有一知己,有了他,我足矣。

毕业分配的时候,他被分到贵州,后来又到了安徽农场,而我被分到宁夏西吉
县。工宣队故意这样做,想把我们永远分开,他们好残忍,他们连我这唯一的爱也
要夺去,在他们看来象我这样的人根本就不配有爱。但我是人,是个年轻的女人,
我是多么需要爱。

在这里,我要特别感谢645的许小昆同学(许先生现在纽约某国际组织任职
),在一打三反运动中,他因为和几个朋友在一起议论过江青而被列为全校第一号
批判对象。他当时也被分到了安徽农场。我怀着一线希望去找他,问他愿不愿意和
我交换一下。当时他也被整得很惨。但仍然很同情我的遭遇,一口答应下来,后来
他替我去了宁夏西吉县,但工宣队仍然没有让我去安徽而让我去了河南。据说后来
许小昆从宁夏调回了北京。如果有机会碰到他,我要谢谢他成全了我们一家人。

1970年分配在河南的大学生都到沉湖去劳动。在沉湖农场,所有的人都知
道女生连有一个炮打无产阶级司令部的现行反革命份子,个子不高,思想反动。很
少有人敢和我讲话。我总是被派去干最脏最累的活,我的床是在靠大门冷风直接吹
进来的地方,演样板戏时,总是让我演滦平,我的绰号就是“滦平”,别人叫我滦
平。在农场,我拼命干活,很少讲话,我想用劳动的汗水来洗刷自己的罪孽,求得
人们的谅解。后来我明白了,我就象鲁迅笔下的祥林嫂,我的罪孽已烙在我身上,
一辈子也赎不了,洗不掉。运动一来,我就会被拉出来批斗。我已经习惯了人们鄙
视和冷漠的眼光。平时我总是忍让不和别人争吵,有一次我忍不住了和一个人吵起
来,她不和我讲理,反而大叫起来:“你算什么东西,滦平。”我就再也不吭声了
,但我的心在流血。我是多么卑谦,我没有羞耻感,没有自尊心。只有一个强烈的
欲望,我要活着。

从农场分配的时候,自然我是被分到那最差的别人不愿去的地方。我的问题没
有结论,没有帽子,但这比戴帽子更可怕,我的档案里塞满了材料,我就象生活在
屠刀下,任何人任何时候想要整我,都可以置我于死地。祥从安徽农场出来时,其
他同学分到了城市,工厂和科研单位,而他因为我则被分到安徽省临泉县杨集公社
中学当了司务长。

1972年元月,他听说我要到驻马店报到,就冒着大雪,从杨集步行了五十
几里到新蔡县乘汽车,比我先到了那里。当我们又重新见面时,我依偎在他那温暖
的怀抱里痛哭了一大场,象要把这些年所受的委屈都倾泄出来。这些年来,我象一
头受了重伤而无家可归的小羊,我是多么需要爱,需要一个强有力的肩膀来保护我
。我感到有了依靠,象回到了家。我们终于可以在一起了。经过了那些恶梦般的日
子,我们是多么渴望安安静静地生活,平平凡凡的幸福。

在古老辽阔的豫东平原上,有一个叫做西平的小县。1972年元月我被分配
到了这里。

我生在重庆,长在北京,虽然也下乡劳动过,但从来也没有想到我要在农村安
家。我们刚上大学的时候,科学院力学所的崔季平老师曾经向我们介绍过我们要学
的专业:“物理力学”。他说,这门学科是钱学森教授在我国首次创立的。他的目
标是要从物质的微观结构去了解材料的宏观性质,这是一门正在蓬勃发展的新学科
,科大的学生是我国科学技术的生力军,好好学吧,将来有许多工作等着你们呢。
在我的梦想里我们以后的去向不是研究所就是大学,或是原子弹,导弹基地。当我
们欢送高年级同学毕业的时候,对于那些能到新疆原子弹基地或西昌火箭基地的大
哥哥大姐姐们总怀着几分神秘和敬意,只有最优秀的人才能去从事那崇高而神圣的
事业。

可眼下,祥在杨集公社中学当了司务长,我又来到这举目无亲的小县城。从临
泉县到西平县直线距离不太远,可没有直达汽车,他要步行到新蔡县乘汽车到驻马
店再转火车到西平,当天都到不了。县里管分配的人说:你这科技大学的学生不去
搞尖端到这小县城来作什么?县里刚建了个化肥厂,你是学化学的,就到化肥厂去
吧?

就这样我到了化肥厂,一年后我们结了婚,祥也调到这个厂了,我们在这里安
了家。

如果四人帮一直不垮台,春天迟迟不来,我们会在西平的小屋里平静地渡过我
们的一生。我再也不想当科学家了,再也不想当居里夫人了。只要再也不提雄师,
只要再也没有阶级斗争。

化肥厂的门外是庄稼地,因为没有别的地方去,我常带孩子到这里来玩。我呆
呆地看着那一望无际的青沙帐,回想着往事,象祥林嫂一样自言自语,“我真傻,
我当初干吗要到处乱讲,干吗要把什么都承认了,我真傻……”当我看到在野地里
玩泥巴的女儿,心里涌出一股无可奈何的愁怅,难道我的孩子也要在这片庄稼地里
渡过他们的人生,难道他们再也没有机会做科学家的梦?没有机会见到外面的世界
?哎,都是我不好,拖累了祥,连累了孩子。

然而严冬终于过去,春天毕竟来的不算太迟。

1979年的某一天,我收到科大党委的通知去参加平反大会。在会场上见到
不少老年和中年的老师,我大概算里面最年轻的了。看到他们我在想,我是不是很
幸运呢?平反文件一个一个地念着,台下一片轻轻的抽泣声。

在会上,我接到了两份平反文件,下面是这两份文件的全文(因为没有得到这
些朋友的允许,我将人名隐去):

中国科学技术大学文件

校党字(79)第 79 号

关于周平同志平反的决定

周平同志,四川重庆市人,原我校6431班学生。

1966年底至1967年初,周平同志参加“雄师”群众组织,并贴出了“
中央文革向何处去?”的大字报。主要内容是反对林彪、陈伯达、江青一伙破坏文
化大革命、打击老干部。1967年元月,“雄师”被定为反动组织,周平同志定
为“雄师”骨干成员,以攻击中央文革的罪名于1967年被北京市公安局逮捕拘
留,遭到批斗。

经复查,周平同志反对林彪、“四人帮”的大字报是完全正确的。现决定:予
以平反,恢复名誉,消除影响,推倒一切不实之词。

中共中国科技大学委员会
一九七九年五月十六日

中国科学技术大学文件

校党字(79)第 30 号

关于“雄师”群众组织的平反决定

1966年底至1967年初,我校教师XXX、学生周平、XXX等二十多
位同志成立“雄师”群众组织,在校内贴出了“中央文革向何处去?”的大字报。
主要内容是反对林彪、陈伯达、江青一伙以中央文革名义破坏文化大革命,这本来
是我国政治生活中正常的民主权利,由于林彪、“四人帮”左倾机会主义路线的干
扰和破坏,XXX、周平、XXX、XXX、XXX等五同志遭到迫害,于196
7年元月被拘留,批斗,因参加过“雄师”群众组织或同情“雄师”观点的XXX
等二十四位同志在一打三反运动中遭到审查批判。现决定:对“雄师”群众组织予
以平反,对XXX、周平等二十九位同志予以恢复名誉,销毁与此有关材料,撤销
因此事所作的结论。

中共中国科技大学委员会
一九七九年三月二十八日

下面有二十九人的名单。

看着这一个个熟悉的名字,我的泪水把这张纸湿透了。我知道这每一个名字的
后面都有一个血泪斑斑的故事,而且我知道还有许多人的名字没有列在这名单上。

看着这一个个熟悉的名字,十几年前的往事又浮现在我的眼前。

1967年元月十四日,那是一个多么寒冷的夜。那天夜里,一辆车子到科大
校园里逮捕了五个“雄师骨干份子”,有人在寂静的操场上大叫:“抓人了!”许
多学生,老师,工人,家属闻讯赶到了校东大门,车子被堵在离东大门的不远处就
挪不动了,愤怒的人群在车子外面质问:“凭什么抓学生?”“写一张大字报就抓
人?这不符合十六条!”这时我听见车里有人说:“科大反中央文革的势力太强,
简直成了反革命老窝了,太嚣张了。”双方僵持了大约两个小时,最后是调来了警
察,才把堵在路上的人群驱开,车子才缓缓开出玉泉路科大校园,但仍然有上千人
拥挤在道路两旁和校门口,在那漆黑的冬夜,在那凛冽的寒风中,默默地为我们送
行……这是多么悲壮的一幕!

这不是小说,也不是电影剧本,明月为证,天地为证,在场的几千个科大人为
证,这是1967年元月十四日发生在玉泉路科大校园的真实的一幕,这是民心,
民意,这是历史……。

我拿着这平反文件到了校平反办公室,一个慈祥的老人接待了我。我说,我很
高兴校党委对历史作出了正确的结论,但我还有几点要求:

第一,平反文件讲我们的大字报是“反对”中央文革,“反对”这个词不对,
因为我们的大字报没有反对任何人,对一个问题提出不同的意见,是正常的民主的
生活,是符和宪法的。不能因为有不同意见就是“反对”。我没有先见之明,我也
没有那么大的胆量去反对大人物。那个老人看我一本正经很认真的的样子,觉得很
好笑,就说,反正事情已经过去了,就不要咬文嚼字了嘛。

第二,我说,受雄师问题牵连而受到迫害远远不止这二十九人,有许多人虽然
没有参加雄师但因同情雄师观点或者元月十四日去拦车也受到了迫害,校党委也要
为他们平反,我递给他一份名单,上面有我和祥所能回忆起来的人名单,我说据我
了解,受“雄师”一案牵连,在科大,在清华,北大,北航,地院,北大附中,京
工附中以及其他大专院校共有大约有上千人,他接过名单说,对于科大的人我们会
尽快调查了解作出结论。对其他学校的人,他们自己会处理。

第三,受雄师一案牵连,我的八本日记本被抄走,我要求把我的日记本归还给
我。他说,事隔那么多年,这些材料已经找不到了,很抱歉。

这八本日记本是我从小学四年级到大学二年级的日记,是爸爸妈妈送给我的礼
物,他们让我把最重要的,有意义的和值得纪念的东西写下来,长期地写下去,将
来就是你的生命史。这些日记记录了我从童年,少年到少女的成长足迹,记录了我
的理想,我的追求和我的梦,这日记没有虚伪和掩饰,是我内心世界的自白。但在
文革中,我的日记却被整页整页的抄在大字报上供人们批判,我从来也没有想到我
的内心世界会被暴露在大庭广众之下,也没有想到我的日记会成为我的罪状,从那
时起我就再也不写日记了。现在我的日记再也找不回来了,我的青春,我的梦……
都永远地消失了。

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《数学的纯粹》葛力明

注:今天刚刚了系里的葛力明教授聊了一会儿,发现葛老师是一个非常纯粹的人,我非常喜欢,因为我自己对数学态度也很纯粹。特别是发现葛老师发表的文章特别 少,但是每一篇都是特别高质量的,这点我特别欣赏,其实是我自己也是这样要求我自己的,但是显然我并没有做到我自己的标准。我的文章虽然很少,但是按照我 自己的标准,我觉得我现在只能算写了3篇文章。其实哥德尔一生只有6篇文章,如果按照哥德尔这个标准的话,我现在应该是一篇文章也没有。文章就像是画家的 作品,从里面你可以看到作品背后的灵魂的许多东西,而把自己不满意或未完成的作品拿出来,对一个好的画家来讲简直是一件不可思议的事情。今天聊完,我就在网上搜索了葛力明老师的一篇有趣的网文,贴到这里来与大家分享。这篇文章发表在《数学通报》2008 年第 3 期。

《数学的纯粹》葛力明
学了很多年的数学, 可每当有人问起“到底什么是数学, 为什么学数学”等类似的问题时,我多少会有些迷茫,心中至今也没有一个明确的答案。正是数学中许多无法弄清楚的问 题时刻吸引着我, 我才会乐此不疲地一直沿着这条路探索。 通过它, 我认识了很多普通的人, 经历了不少感人的事,从中领悟了很多人生哲理,我和它似乎有结不完的缘。

1965年, 我出生在江南溧阳一个农民家庭, 母亲没有上过学, 父亲只读过四年小学。 记忆中家里很穷, 小时候有时吃不饱饭, 还三天两头地生病。 1973年在医院里住过数月, 半年多没上学,还好在那个年代没有耽误多少学业。1978年,恢复高考的第二年,我参 加了中专入学统考。在当地,对一个农村孩子来说,能上中专也就算出头了。中专没念上, 却阴差阳错地被县城的江苏省溧阳中学录取。 两年的中学生活对不少人来说也许仅是两年的 学习经历而已,但对一个体弱、贫穷的孩子意义却是非凡的,它完全是世界的改变。我许多 的人生第一从此开始: 第一次离家独立生活, 要计划如何从每月三元钱的生活费里省出期末 回家需要的八角钱路费;第一次接触到英语、生物、物理、化学等课程,知道除了语文、数 学,学校里还有那么多的课程;第一次体会到什么是学习,什么是无知;也第一次遇到了许 多优秀的同学和老师,其中的一些人对我一生都产生了重要影响。我与数学的缘,最初就是 来自于一位普通而可敬的老师--王荣章。 王老师是我们农村班的班主任,也是我们的数学老师。他教了我们两年数学,也做了两 年父母。在生活上,他关心我们到每一个细节,他得知我的生活拮据,特地找我父母谈,要 他们给我加点生活费,家里也想方设法地把我的生活费增加到了每月五元。在学习上,他不 仅尽心地教给我们数学知识, 而且对我们学的每门课程都要操心。 王老师为了给我们班争取 最好的老师, 引起了一些个人恩怨并给他的生活带来了许多不便, 但他在学生面前从来没有 表现出一点不愉快,也从来没有和我们谈过他生活上的事。 直到现在,我每次回溧阳都去看他,一见面就谈数学,他很关心我做的数学、思考的数 学问题,而且每次他都准备了很多数学问题问我,还经常要我给他寄些相关资料,他对数学 界的动态比我清楚得多, 我也很看重他的一些建议。 在我心目中, 他永远是一个合格的老师, 因为他很敬业,总是把数学教学和学生放在第一位。多年来,他一直在辅导中学生数学,虽 然在别人看来他打游击似地被各种学校临时聘用着, 但他生活得很快乐, 因为有数学陪伴着 他。他是我遇到的第一个纯粹地迷恋着数学,从不计较个人得失的人。 那两年中,要学的东西实在太多,没等我把周围的人和事弄清楚,中学时代就结束了。1980年高考后, 第一志愿我选择了北京大学数学系并如愿以偿。 是王老师把我领进了数 学的大门,我的人生从此又翻开了新的一页。

上了大学后,人才开始长大、懂事,慢慢明白了周围的世界。当时,学校每月发给我的 二十二元特等贫困助学金使我经济上独立了, 供我读书从此不再是家里的负担。 大学四年下 来,我还省下了一笔钱,给我父亲买了一件八十元的呢子大衣。更重要的是,原以为数学就 是只有华罗庚等几个人做的事,进了北大后,一下子看到有那么多的同学在念同样的东西, 后来更发现很多外国人也做数学,数学的世界顿时开阔起来。 与此同时,受北大文化的影响,我常常被文学、艺术、哲学等数学外的世界吸引,只要有兴趣的我都看。那时,我有很多梦想,被小说感动时,想做一个文学家;悟 出一些人生哲 理时,想做一个哲学家;偶尔也会被一个数学定理吸引一下。一个人的时间总是有限的,虽 然我当时还算用功,但数学上光靠这种偶尔的积累根本不够。付出的回报来得很突然,大学 四年后我没能如愿考上北大的研究生,此时才感觉到自己数学底子的薄弱。还好,当时山东 曲阜师范学院研究生缺生源,派人来京招生,我就毫不犹豫地去了曲师院数学系,也就没有 完全脱离数学。我不属于那种很懂事、有主见、很小就确立了人生目标并为之奋斗的人。一 点挫折就把我初上大学时的锐气几乎全磨光了。在曲阜时,受各种因素影响,我没能踏踏实 实地念书,即使是数学,也看得很杂。其实很多年以后我才意识到自己当时做学问的致命弱 点就是不专。常常对一个问题还没有看清楚,就感到自己很有想法,一下子就可以把问题解 决了。大概每个做数学的人都会有这样的体会,觉得把某个问题解决了,但很快就发现了错 误,可是犯得像我这样低级是很难得的。我是在对算子代数这个学科毫不了解的情形下,把 其中的一个中心问题——卡迪生(Kadison)猜想给解决了。把文章寄给卡迪生的第 二天,我就发现了自己的荒唐之处。一个月后,我居然收到卡迪生教授的来信,邀请我去跟 他念研究生。我的数学生涯又有了一个新起点……

受益于多位老师的帮忙, 1989年我来到了美国宾西法尼亚大学。 卡迪生已是六十四 岁的老教授了,第一次见面他就要我叫他的小名“狄克”(Dick)。我是他带的第一 个中国学生,也是跟他学习时间最长的学生。卡迪生是世界公认的算子代数之父,在冯·诺 依曼创立这门学科后,在近三十年的时间内,只有卡迪生和他的学生们在做这方面的研究。 他从来没有关心自己做的数学是否属于主流, 只是在他认为重要的方向里工作着。 他为人和 育人的方式也很独特,培养了很多优秀的数学家。 我刚到美国不久的一个夏天,卡迪生教授想教我学开车,我很快拒绝了他的好意,理由 是开车很危险,还有我没想在美国长留。他犹豫了片刻就开始跟我讲条件:如果我每天只教 你一个小时,一星期后保你拿到驾驶执照,并送你一辆车,你学不学?若我再不答应,他肯 定还会提出别的条件的。我只好说:就一星期吧,我试试。五天后,我果然拿到了驾照和他 送的一辆车。过后,我们在路上说起这事, 他很自信地说: 力明, 我要让一头猪爬上一棵树, 我也一定能做到。跟了这样一位老师,我只希望自己能比猪聪明些。 还有一次让我触动很深,在我毕业前,他帮我改论文,他的一丝不苟是人人皆知的。我 们大概花了两个月的时间把论文改得完全可读,我已觉得很满意了,可他坚持还要继续改, 我稍微显得有点不耐烦,他十分生气地对我说:你要记住,我的时间很宝贵,我愿意在你身 上花时间是你的幸运, 因为我对你有很高的期望。 确实, 卡迪生教授在我身上花的精力最多, 我是他学生中最幸运的。 毕业后,我们常联系、常见面讨论数学。八十多岁的他至今还在想问题、写论文、教学 生。 去年七月, 他在西安的一个暑期班上给六十多位中国研究生作了关于算子代数基础的系 列报告。能把知识传给学生他很幸福,他把对学生的培养看成是他生命的延续。他是一个纯 粹的数学家,他教给我数学,也使我对数学的纯粹有了更深刻的理解。

十多年来, 我听过陈省身先生的多次报告, 但一直没有单独和他聊过。 2003年夏天, 就托朋友预约到天津拜访他,他爽快地答应了。我对他来说是个陌生人,这在见面时也得到 证实。 我对他做的数学懂得很少, 我告诉他只是慕名而来, 同时他在美国的老朋友们想念他, 要我转达问候,并希望我把先生的近况转告他们。我们谈得就像老朋友一样,我说我想拥抱他一下,坐在轮椅上的他欣然同意了,并给我一个很热烈的拥抱,还签名 送给我一本他的文 集。我们的话题很快又回到了数学上,他还谈到了他在做六维球面的复结构问题,说是解决 的希望很大。谈话中,我始终表达着对他的敬佩,但他一再强调他不是名人,不是大人物, 只是喜欢做数学。我读了他的文集后,懂了:他是圣人,把数学做到生命的最后一刻是他的 幸福,他也是纯粹的数学家!遗憾的是不久就听到了先生仙逝的消息,以后只有在数学里聆 听先生教诲了。 近几年,我接触了很多国内数学界的老师和朋友,还有更年轻的学生们。年轻一代中也 有很多低调、勤奋、甚至用生命在做数学的优秀数学家。许多人大概都看到过有关我的同事 和朋友“挽救数学家席南华生命的‘生死时速’”的报道。他因工作劳累,呼吸困难,肺部 严重感染和肺积水入院治疗,检查后还发现他有严重肝硬化,属于肝癌早期。这几乎给一个 年轻的生命画了一个大大的句号, 他生命的一大半已交给了上帝, 而我们只有默默地为他祈 祷。如果有幸他还能走出医院的话,我想他一定要静静地休息一段,好好地保养一下身体。 不久后,我在数学所里看到了他的背影,他正在和别人谈论数学,我没有上前打扰。隔日去 听数学讲座时,又见到了十分单薄的他,我问他:南华,你怎么又上班了呢?他很有力地回 答说:没问题呀,我的身体不是很好么!我无言以对。一个痴迷数学而不惜生命的人一定是个纯粹的数学家。

我们这一代数学人多少受华罗庚、陈景润、歌德巴赫等名字的影响,与他们相关的数学 曾经是中国数学的主流。最近几年,“主流”似乎被其它方向取代,但数论中和素数分布、 歌德巴赫猜想等有关的问题是如此简单又无法回答。多年来,我常被这些问题困扰。上个月 上班的路上,我碰到了王元先生,和他闲聊间,不知不觉地又聊到了数论上,他很关心非交 换几何与黎曼假设的联系。 我听说素数定理的初等证明本质上就是非交换几何的思想, 告诉 他我在念华罗庚的《数论导引》。他问我有没有华老的书,我说是借的,他马上送了一本给 我。我读书不多,藏书更少,但这本书我一定会好好读的。我更希望把华老、元老等发展起 来的中国数论传统和数学文化继续并传承给更年轻的一代。 能常常和我敬重的先生们聊数学是我的荣幸。 对我来说更幸运的是有那么多为数学默默 奉献的人,没有他们,我们寸步难行! 小学五年级时,因家里穷,父母要我辍学在家帮忙。我的班主任林渝生来到我家和我父 母谈,希望让我继续念书,并表示他愿意承担我生活、读书的全部费用。我爸说:林老师, 您大学毕业,不就在农村教书,还常被人揪出来斗一斗,我儿子有您这样大的学问又有什么 用?林老师坚持说知识会有用的,世界会变的,无论如何不能让我这么小就停学在家。老师 的执著生效了,我继续上学。上个世纪八十年代初,年轻的林老师病逝了。他走了,可他留 下了许多新的生命,其中至少有一个是数学的生命。 每个人的经历不可能一样, 同龄的人都会有一些类似的经历, 能选择数学为职业的可能 不多。对我来说,数学的魅力在无数鲜为人知的故事中,在无数辛勤耕耘又不图收获的普通人身上。他们每天都在我们身边,编织同样的故事、帮助我们、启发我 们、鼓励我们,是他 们创造的数学的纯粹让我感动。我无法回答什么是数学,但它是我一生无悔的选择,我愿像 我的老师和朋友们一样做一个纯粹的数学家,给数学带来更多的纯粹。 致谢: 感谢中国数学会和北京师范大学张英伯老师的邀请, 也感谢首都师范大学朱一心老师的邀请。 该文是以我在威海和首师大作的两个报告为题材写成。 朱一心老师说我所谈的很“纯粹”,文章题目由此而来。

附记:葛力明教授,1980年毕业于江苏省溧阳中学,1984 年于北京大学获学士学位, 1987 年在曲阜师范大学获硕士学位,1995 年获宾州大学博士学位。现任美国 New Hampshire 大学教授,中科院数学与系统科学研究院研究员,中科院“百人计划”获得者, 北京大学数学科学学院应用数学专业,长江学者特聘教授。 葛力明博士应邀在2002年 国际数学家大会上作45分钟报告(在历史上我国仅有几位著名数学家能享此殊荣),是我国最年轻的享有国际声誉的数学家之一。 葛力明教授是溧阳市八 0 届高考理科状元,八 七年考取中国科技大学博士研究生,八八年赴美国宾夕法尼亚大学攻读博士,九五年、九八 年分获“美国科学基金会”博士后奖和“美国总统数学成就奖”, 现任美国新罕尔什尔州立 大学终生教授、博士生导师。

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1+1= 2 ?

前注:这篇文章原本是写给中学生和大学生的,后来发现可能有更多的人会感兴趣,比如:学龄前的儿童和家长,所以贴到这里来。我写这篇文章的缘起比较复杂。最早来源于一些职业数学家对范畴学太抽象的抱怨,他们希望看到的数学是象1+1=2这样“简单”,容易“理解”和可以计算的数学。我想通过这个例子来 说明,小孩子想问题天生就是categorical的,当我们学了很多decategorified的数学以后,很多人反而不能接受范畴学。所谓“抽象” 往往也只是因为我们对它的不熟悉而已。就象你刚刚走进一个100层的摩天大楼,它的丰富结构会让你觉得相当迷失或“不理解”,但是你不会说这个大楼的内部结构很“抽象”,因为你知道时间长了,你就知道第几层有个画廊,画廊旁边是个书店, 而书店的二楼有一个美丽的姑娘卖咖啡,等等。其实很多抽象的数学理论只是一座座崭新的摩天大楼而已,熟悉他们需要的只是时间与耐心。

创造力的来源是天真
--伟大的数学家Alexander Grothendieck

我希望大家和我一起回到学龄前儿童的状态。只有这样你才能看清问题的本质。

1+1=2 是一个很难的问题。我们真正理解了吗?

第一个难点是:什么是”1″?
第二个难点是:什么是”+”?
第三个难点是:什么是”=”?
第四个难点是:什么是”2″?

什么是”1″?小孩儿不知道什么是”1″ ,你知道吗?你见过1吗?通常情况下,老师的教法是用实物,比如用带磁铁的小猪,小鸭,苹果,香蕉。可以把他们吸到带金属的黑板上,真实可见的东西是的我 们对存在的基本体验。其他都不太可靠。我们谁也没有见过1。那让我用符号 O 来表示苹果,J 来表示香蕉。

让我们把他们放到一起,于是黑板上出现了如下公式:

(1)O+O=OO,

好吧。我们见过苹果,所以O没什么问题,但什么是”+”?什么是“=”呢?其实小孩一般还可以接受(1),接受的办法就是忽略“+”。(1)不就是 “OO=OO”吗?理解“+”太难了。我先跳过。先来谈谈“=”,其实这个更难!“=”(等于)是一件很难理解的东西。在现实世界里我们基本没有见过两个 完全一样的东西。“OO=OO”两边的苹果其实是不一样的。也许他们的颜色有些区别,或磁铁的吸力的差别,等等。那么”=“就很难理解了。在生活里的中 文,我们不说等于,我们说”一样“。左边的“OO” 和右边的“OO”在什么意义下是“一样”的呢?通常我们只能说我们可以建立左右两边的一一对应(遗憾我还是用到了一一,呵呵)。比如:

OO (左)
|  |
OO  (右)

其实孩子们是敏锐的。一定有看上去很“笨”的孩子纳闷,为什么老师不选择下面这种呢:

OO  (左)
X
OO  (右)

如果我们定义左右两边的苹果“一样”就是有一一对应,那么左右两边的苹果至少有两种不一样的“一样”!这又是什么意思呢?这是不是在说左右两边的苹果还是不太一样呢!那你让一个深刻(天真而已)的孩子如何理解呢?

插个小评论: 很多深刻的孩子在我们肤浅的教育的第一步,就开始被磨灭他们的天才,打击他们的信心。孩子们学到的是如何让别人满意,而不是去理解。只有“聪明”的孩子才讨老师喜欢。

一般幼儿园的老师会这样加强理解。假设孩子们已经有了对“OO=OO”一种模糊的理解。我们在来类比地加强这种所谓”理解“。我们再摆一个在板上:

(2)J+J=JJ

当然其实就是”JJ=JJ“。按我们的假设孩子们已经有了对“JJ=JJ”一种模糊的理解。这时候老师试图能够“抽象”出来一个概念1和2。办法就是试图 说明O和J,OO和JJ也在某种意义下是“一样”的。可是对孩子来讲JJ与OO很不同啊,只能说JJ与OO可能可以对应起来。具体做法还是给出一个对应, 比如:
OO
|  |
J J
但这不是唯一的选择。还可以有如下对应:
O O
X
J  J
注意给出一个轻轻楚楚的对应是很有必要的,否则我们无法将JJ与OO等同起来更无法理解”2″。这一点可以有下面的情况来说明:请比较
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO 和
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ。
不给出一个对应,天知道他们怎么是回事儿。我是随便写的,不会有同学真的去比较他们吧,最好不知道,留下一个未知的神秘感。

总结一下。

1。我们其实顶多能够把“=”理解成一种对应。
2。而这种对应往往还不唯一。两个东西可以以两种不同的方式“一样”,还是一样吗? What does this mean?
3。这两条其实在说,我们原来以为的“=”是一种“绝对的一样”(我也不知道我指什么,你们知道吗?)可能是一种误解。

问题:我们能不能通过所谓的“抽象”过程,能够在另一种“抽象”的层次上建立“绝对的一样”的概念呢?那么1+1=2是不是就可以严格的定义和理解了呢?

插个小评论:我们通常说的所谓抽象,其实是故弄玄虚的不解释,不知道或者逃避困难。我们自己解释不清楚了,我们就说只可意会不可言传。 实在急了,我们就说:你咋抽象能力这么差呢?真TMD的笨!

好让我们来考察一下,能不能在一种“抽象”或神秘的层次上定义什么是1和建立一种“绝对的一样”的概念?

假设我们能够理解一个集合,也就是 a family of apples, bananas, … etc. 孩子们“好象”也知道,好吧。数学(其实只是集合论)里“抽象”出来的办法是要提出一个新的概念叫“cardinality”。这个概念依赖其他的概念:

1. equivalence relation (等价关系)
2. equivalent class (等价类)
3. equipollence

我并不打算走进这些细节。只说思路。就是我们希望把OO和JJ等价起来。我们先规定一种等价关系,就是说如果 OO 和 JJ 存在一种一一对应(不管有多少不同的对应),我们就说 OO和JJ 是 equipollent 的。这样的话,OO 就  equipollent to JJ,AA, , 等等。那我们就可以“抽象”地定义一个叫所谓“equivalent class” (which is very subtle).  “equivalent class”就是把所有那些和OO equipollent 的东东(好象东西没东东合适)都装到一起:

OO,JJ,AA,PP,木木,aa,   , 。。。。

然后我们就可以定义(1类似):  2 = the equivalent class of
OO,JJ,AA,PP,木木,aa,   , 。。。。

但是这个equivalent class到底是什么呢?它是在怎样一个层次上的东西(结构?)呢?它还是我们通常所说的原来那个层次,象“OO”一样的集合吗?但它好象是一个集合的集 合?(小心:罗素的悖论 –>  the “set” of all sets is not a set!)

“equivalent class” is in general not a set! It is a class. Oh, my god? What is a class?

再问下去,我们只好走进集合论的公理系统和数理逻辑。嘿嘿,到现在为止我好象还没有完全解释清楚什么是1和2。+和=就别提了。有几个理由我们不再往下走了。

1。最终我们是不是能完全理解1+1=2?Very unlikely!公理是人写出来的,不是God given的。即使我们建立了集合论的公理系统,而且完全定义了1+1=2。因为达到同样目的的公理系统不是唯一的,最终我们仍然需要选择和设计我们的公 理,要做一些人为的和不一定自然的选择。这种不唯一性是会令人不安的。

2。更有甚者:数学的基础也不一定要建立在集合论上。还有别的可能。比如也可以建立在范畴学(category theory)里的elementary topos理论上,最近一些年有新的一些趋势,就是在higher category的框架下建立一个新的数学基础。

虽然不再进入集合论的公理系统和数理逻辑细节,仍然有很多小孩都很容易把握的藏在 1+1=2 的深刻数学需要讨论 !

后注:其实这是一个论坛里的一个帖子,后面还有很多的回帖和后续文章,所以结尾有些奇怪。回帖和后续文章很多,就不一一贴出了。

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A visit to Stony Brook

s 3/1/2010:

Without being informed before it actually happened, I found myself sitting with K. Costello, M. Douglas, J. Morgan, D. Sullivan, A.J. Tolland, B. Vallette etc. in the common room of the Math department at Stony Brook. It was supposed to be one of a series of dialogues between physicists and mathematicians. During the conversation Douglas proposed a conjecture of Kontsevich-Soibelman:

Conjecture (Kontsevich-Soibelman):

A CFT satisfies gapped positive energy condition if all the eigenvalues E_i of the Hamiltonian (H=L_0 + \bar{L}_0) are non-negative and E_i=0 or E_i \geq h for some h> 0. The conjecture is that the space of all CFTs with a fixed central charge satisfying gaped positive energy condition is precompact.

The conjecture is an analogue of a theorem in Riemannian geometry (I don’t know if the following statement of the theorem is correct. I just copy it from Douglas’ handwriting on blackboard. The precise statement is not very important to us.) :

Theorem (Cheeger-Gromov):

The space of Riemannian manfolds with the diameter of M smaller than \frac{1}{n} and satisfying |K| < 1, \mathrm{vol} M \geq \epsilon is compact.

Kevin Costello was asked if it is true in TCFT context. Kevin replied no. It quickly became clear that it is perhaps a good sign because the states in a TCFT are all vacuum states. Maybe it can be viewed as an evidence of the necessity of the gapped positive energy condition.

One might feel weird when he/she see this conjecture for the first time. The conjecture is not so well-defined. We don’t even know what the definition of CFT is, needless to mention the topology on the space of CFTs. However, this conjecture make perfect sense to me!

After Michael Douglas wrote down the conjecture, Kevin asked immediately how they come up with such conjecture. Michael answered “well, you had better ask themselves.” Although this conjecture make a lot of sense to me immediately, only when I was preparing my talk which was delivered today, I found more to say about this conjecture. So I added it to my today’s talk as the last part.

After nearly an hour introduction to my own proposal that a CFT should be viewed as a stringy algebraic geometry or a 2-spectral geometry, which should recover Riemannian geometry in certain classical limit, I put down the following derivation of K.-S. conjecture:

a 2-spectral geometry = a CFT

\mathrm{diam}(M) < \frac{1}{n} \Longleftrightarrow energy is gaped.

|K| \epsilon \Longleftrightarrow ??

By adding the natural positive energy condition and ignoring ??, we arrive at the K.S. conjecture.

It is already quite interesting. But one should not stop there. It is natural to ask if we can do better?

If you are familiar with the classification of open-closed rational CFTs, you definitely can say more. Although the classification result is only available for the rational cases, it indeed suggests a lot for the irrational case as well. For example, it is reasonable to believe that the closed algebra in an irrational CFT should also be a commutative symmetric Frobenius algebra in a braided tensor category. So let \mathrm{Vir}_c be a VOA generated by its Virasoro element with central charge c. It is natural to expect that the category of \mathrm{Vir}_c-modules, satisfying gapped positive energy condition plus some other natural conditions, gives a braided Frobenius tensor category as some kind of a categorification of a commutative Frobenius algebra. Then we can reformulate K.-S. conjecture and propose the following three potentially different conjectures.

Conjecture 1: The space of isomorphic classes of commutative symmetric Frobenius algebras in Z(\mathcal{C}_{\mathrm{Vir}_c}) + some conditions (modular invariance condition) is pre-compact.

Conjecture 2: The space of the Morita classes of simple symmetric Frobenius algebras in \mathcal{C}_{\mathrm{Vir}_c} is pre-compact.

Conjecture 3: The space of the equivalent classes of indecomposable module categories over \mathcal{C}_{\mathrm{Vir}_c} is pre-compact.

Look, these conjectures are still not well-defined because we don’t know what topology to choose if there is any interesting topology at all. But let us leave such problem aside for now. Conjecture 3 reminds me of a conjecture by Ostrik:

Conjecture (Ostrik): For a given rigid monoidal category \mathcal{C} with finitely many irreducible objects there exists only finitely many inequivalent indecomposable \mathcal{C}-modules.

Motivated by Ostrik’s conjecture, we would like to give a continuous version of it.

Definitions:
1. A topological Frobenius tensor category \mathcal{C} is a Frobenius tensor category endowed with a proper topology.

2. \mathcal{C} is called compact if the space of 0-dimensional objects (whatever it means, D0-branes?) is compact.

Then we can propose the following conjecture:

If a topological Frobenius tensor category \mathcal{C} is compact, so is the space of equivalent classes of indecomposable \mathcal{C}-modules.

I don’t know how to make the space of equivalent classes of indecomposable \mathcal{C}-modules into a topological space. But I hope that readers will find this endeavor interesting.

I don’t remember how the dialogue was ended. I forgot to ask them if such a dialogue is a regular event at Simons Center. But my impression is that it is certainly not the first one nor the last one. I expect that it will happen very often in the future. I think that Stony Brook is a very good place to study mathematical physics.

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